De stelling van Pythagoras

De beroemde stelling van Pythagoras was reeds 2000 jaar voor Christus bij de Babyloniërs bekend. Deze luidt: de oppervlakte van het vierkant beschreven op de hypotenusa van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som der oppervlakten van de vierkanten beschreven op de andere zijden. In figuur 6 is dus volgens deze stelling P + Q = R.

Figuur 6: De stelling van Pythagoras: P+Q=R

In het eerste van de dertien boeken van de Elementen van de grote Griekse didacticus en wiskundige Eukleides (circa 300 voor Christus), doorgaans aangeduid met de gelatiniseerde naam Euclides, vindt men het oudst bekende bewijs, zie het artikel Het muizenvalbewijs van Euclides in de Pythagoras van december 2001. Het bewijs van Euclides berust, zoals de meeste andere oude bewijzen, op het vergelijken van oppervlakten.

Er zijn in de loop des tijds tientallen bewijzen van de stelling van Pythagoras gepubliceerd. Natuurlijk mogen daarbij geen stellingen gebruikt worden die zelf met behulp van de stelling van Pythagoras zijn afgeleid. Het originele bewijs van de bekende Nederlander Multatuli, alias Eduard Douwes Dekker (1820-1887), is echter bij weinigen bekend. Daarom hier zijn bewijsvoering. Multatuli vulde de basisfiguur aan met rechthoekige driehoeken die congruent zijn met de gegeven rechthoekige driehoek en dus alle de oppervlakte b van de gegeven rechthoekige driehoek bezitten, zie figuur 7. Er ontstaan dan twee congruente vierkanten die elkaar gedeeltelijk overlappen. De oppervlakte van elk der beide vierkanten is gelijk, dus P + Q + 4b = R + 4b, waaruit onmiddellijk volgt dat P + Q = R.

Figuur 7: Een bewijs van Multatuli