We nemen voor het gemak een gezin van vier personen met initialen J, G, S en A. We nemen vier vellen papier. Eerst een ruwe schets. J, G, S en A gaan via een bepaald protocol zowel op de voorkant als op de achterkant de initialen J, G, S en A opschrijven. Dit zal zo gebeuren dat voor ieder vel de initialen op voor- en achterkant verschillend zijn. Dan pakt ieder het vel met op de voorkant zijn of haar initiaal en maakt een surprise voor de persoon van wie de initiaal op de achterkant staat. Er zal voor gezorgd worden dat niemand extra informatie kan hebben. Bovendien zal aan een aantal extra eisen voldaan blijken te zijn.

Vier vellen en een kladpapier

Nu een precieze beschrijving. Er wordt begonnen met een traditionele Sinterklaastrekking. De uitkomst hiervan is bijvoorbeeld: J trekt A, G trekt G, S trekt J en A trekt S. Er worden vier vellen op tafel gelegd met de voorkant naar boven. Ieder van de initialen wordt op een van de vellen geschreven. Verder wordt er een stuk kladpapier op tafel gelegd waar op alle initialen staan. Dan gaan J, G, S en A achtereenvolgens naar de tafel.

J aan de beurt

J begint; hij heeft A getrokken en pakt daarom het vel met daarop de A, kiest een van de initialen (niet de A), schrijft die op de achterkant van het vel, legt het vel weer terug met de voorkant naar boven en streept tenslotte de gekozen initiaal door op het stuk kladpapier. Hij zou bijvoorbeeld de initiaal J gekozen kunnen hebben.

G aan de beurt

Nu is G aan de beurt. Zij heeft net G getrokken en pakt daarom het vel met daarop de G, kiest een van de initialen (niet de G, want die staat op de voorkant, en niet de J, want die is doorgestreept op het kladpapier), schrijft die op de achterkant van het vel, legt het weer terug met de voorkant naar boven en streept tenslotte de gekozen initiaal door op het stuk kladpapier. De door haar gekozen initiaal zou bijvoorbeeld de A kunnen zijn.

Een speciale regel

Nu is het de beurt aan S. Zij heeft net J getrokken en zou daarom eigenlijk het vel met daarop de J willen pakken en een van de initialen willen kiezen (niet de J, want die staat op de voorkant, en niet de initialen die op het kladpapier doorgestreept zijn: de J en de A). Maar nu treedt een speciale regel in werking. Zij heeft de op een na laatste beurt en bovendien blijkt dat zij uit precies twee initialen mag kiezen. Daarom moet zij, zodra zij ziet dat zij de keuze uit precies twee initialen heeft, de laatste persoon, in dit geval A, voor laten gaan.

Het waarom van de extra regel

Hierna verloopt alles zonder bijzonderheden. A heeft net S getrokken, hij pakt het vel met daarop de S en kiest een initiaal (niet de S en ook niet de J en de A; kortom hij moet de G kiezen), schrijft die op de achterkant van het vel, legt het vel weer terug met de voorkant naar boven en streept de gekozen initiaal door op het kladpapier. Daarna krijgt de op een na laatste persoon, hier S, alsnog de beurt. Zij heeft uiteraard maar een keus: zij moet een S schrijven op de achterkant van het vel met op de voorkant de J. Het nut van de extra regel is duidelijk: zonder die regel had S misschien bij haar oorspronkelijke beurt de initiaal G gekozen en dan had de laatste persoon geen enkele keuze meer kunnen maken.

Trekking is geen geheim

Wat hebben we tot nu toe bereikt? Zowel op de voor- als op de achterkanten van de vellen staan de vier initialen en geen enkele initiaal staat op de voor- en achterkant van hetzelfde vel. Maar we zijn nog niet klaar: als nu iedereen het vel zou pakken met zijn of haar initiaal op de voorkant en een surprise zou maken voor de persoon van wie de initiaal op de achterkant van het vel staat, dan hebben sommige gezinsleden extra informatie over de uitslag van de trekking. Bijvoorbeeld: J weet dat A een surprise voor hem maakt en omdat hij ook weet dat hij zelf een surprise maakt voor S, weet hij de rest ook.

Twee naamsveranderingen

Om hier iets aan te doen, geven we iemand, bijvoorbeeld J, de opdracht om een naamsverwisseling te bedenken: bijvoorbeeld J vervangen door G, G door A, S door J en A door S. Dan moet hij deze vervanging uitvoeren bij de voorkanten van de vellen en wel zo dat je de initialen die er eerst stonden niet meer kunt lezen. Vervolgens moet hij zonder te kijken alle vellen omdraaien en van plaats verwisselen. Daarna moet een ander, bijvoorbeeld G, dezelfde naamsverwisseling uitvoeren bij de achterkanten van de vellen. De voorkant met S (respectievelijk A, G, J) heeft nu op de achterkant G (respectievelijk S, J, A). Tenslotte moeten twee andere personen, dus hier S en A, op dezelfde manier ook een naamsverwisseling van eigen keuze uitvoeren bij de voor- en achterkanten van de vellen. Die keuze kan bijvoorbeeld zijn: niets veranderen. Nu is alles klaar. Ieder pakt het vel met zijn initiaal op de voorkant en maakt een surprise voor de persoon van wie de naam op de achterkant staat. Dus J maakt een surprise voor A, G voor J, S voor G en A voor S. Niemand heeft zo extra informatie.

Snelheid

Deze oplossing voldoet aan de drie eisen van Alexander. Over de laatste eis, die van snelheid, heb ik nog niets gezegd. Een manier om die te meten is met behulp van de lengte van een strook papier waarop alle gemaakte keuzen met een efficiente methode genoteerd zijn. Bij een traditionele trekking voor n personen is dat ongeveer cln(n!), waarbij c een constante is, ln de natuurlijke logaritme en n! = 1 × 2 × 3 × ... × n (n-faculteit). Bij de boven beschreven trekking is de lengte ongeveer vier maal zo groot.

Extra eisen

De oplossing voldoet bovendien aan extra eisen. Bij de eis dat niemand extra informatie over de trekking mag hebben, is door Alexander waarschijnlijk alleen bedoeld dat je van niemand anders mag weten wat hij of zij getrokken heeft. Het zou dus wel toegestaan zijn dat je bij voorbeeld alleen weet dat er twee personen zijn die elkaar getrokken hebben. Dit soort extra informatie is bij de boven voorgestelde oplossing ook uitgesloten. Een verdere extra eis is dat alle mogelijke trekkingen kunnen voorkomen en wel met ongeveer gelijke kans. Bovendien kan er nog geeist worden dat na afloop van een trekking voor iedere persoon alle mogelijkheden voor wat de anderen getrokken hebben even waarschijnlijk zijn. Waarom zijn deze extra eisen gewenst? Anders zou je bepaalde flauwe oplossingen knarsetandend moeten goedkeuren.

Een flauwe oplossing

Hier is een schets van zo'n oplossing. Laat een van de personen twee verschillende mogelijkheden bedenken voor wie wie kiest ("twee tafels met ieder vier aan voor- en achterkant met initialen beschreven vellen"). Hijzelf moet bij beide mogelijkheden dezelfde persoon trekken, maar bij ieder ander is dit juist niet toegestaan. Laat vervolgens een ander een van die twee mogelijkheden kiezen ("keuze van tafel").

Fraude

Bij de beschrijving van de oplossing ben ik er terwille van de eenvoud van de beschrijving van uitgegaan dat niemand stiekem probeert informatie te verkrijgen. Het is niet moeilijk om voorzorgsmaatregelen te nemen zodat dit onmogelijk wordt. Ook reken ik erop dat iedereen zich aan de regels houdt. Ik heb geen oplossing bedacht voor het geval dat dit niet zo is. Bij de totstandkoming van de boven beschreven trekking zijn alle personen betrokken. Er zijn echter varianten van de oplossing waarbij dit niet nodig is.

Elk gezin in Nederland

Nu komt er nog een laatste eis, van Frans Keune van de Katholieke Universiteit Nijmegen. De oplossing moet door elk gezin in Nederland uitgevoerd kunnen worden. Of dat zo is? Ik denk dat het kan als het nodig zou zijn. Overigens moet het volgens mij mogelijk zijn om een methode te bedenken die eenvoudiger en efficiënter is. Misschien kan je dat zelf eens proberen.