1: Kaarten op de torus
2: De formule van Euler
3: Andere oppervlakken
Kaartenmakers weten allang dat je aan vier kleuren genoeg hebt om de landen van een kaart zo te kleuren dat buurlanden nooit dezelfde kleur krijgen. Wiskundigen echter slaagden er lange tijd niet in een bewijs te leveren voor dit ervaringsfeit, dat dan ook bekend stond als het vierkleurenprobleem. De bewijzen, die inmiddels wel gevonden zijn, zijn nog steeds dermate ingewikkeld dat ze zonder computer niet geleverd noch gecontroleerd kunnen worden. Vreemd genoeg blijkt het kleurenprobleem voor landkaarten op ingewikkeldere oppervlakken een heel stuk gemakkelijker.
 |
| Figuur 1 |
 |
| Figuur 2 |
 |
| Figuur 3 |
De torus
We kijken eerst naar de torus. Om het tekenen van kaarten op de torus te vereenvoudigen, knippen we de torus open, maar houden goed in de gaten hoe we hem weer in elkaar moeten plakken, zie figuur 1. In figuur 2 hebben we een kaart op de opengeknipte torus getekend die bestaat uit 7 landen die twee aan twee aan elkaar grenzen. Let goed op: nadat de torus in elkaar is geplakt (zie figuur 2, rechts) vormen de vier rode stukjes in de hoeken samen één land! Om deze kaart zó te kleuren dat buurlanden verschillende kleuren krijgen, zijn 7 kleuren nodig. Deze kaart toont dus aan dat je op de torus niet vier, maar minstens 7 kleuren nodig hebt om landkaarten te kleuren. 'Zijn 7 kleuren dan wel genoeg voor de torus?' is dan de logischerwijs de volgende vraag. Om dit probleem aan te pakken, moeten we eerst nog even kijken naar de definitie van een kaart.
Reguliere kaarten
Een land op de torus is een topologische veelhoek begrensd door ribben. Een kaart op de torus is een verdeling van de torus in een aantal landen, die alleen randpunten met elkaar gemeen kunnen hebben. Twee verschillende landen zijn buurlanden als de twee landen één of meer ribben gemeenschappelijk hebben. Een punt dat tot drie of meer landen behoort noemen we een meerlandenpunt. Als elk meerlandenpunt een drielandenpunt is dan noemen we de kaart regulier. Voor ons probleem hoeven we alleen naar reguliere kaarten te kijken. In figuur 3 zie je waarom dat zo is. Het vijflandenpunt, links, wordt door een kleine wijziging van de grenzen omgebouwd tot drie drielandenpunten, rechts. Als je de rechter kaart kunt kleuren, dan krijg je de kleuring van de linker kaart cadeau.
1 | 2 | 3 | next
|
