 |
| | Gevonden artikelen in archief: | Een kans op een prijs
Ter viering van het vijftigjarig jublileum van de 'Vereniging tot vorming van doortastende karakters', wordt het volgende spel georganiseert. De deelnemer staat op een plattegrond waar alle wegen Noord, Zuid of Oost, West lopen. Een speciaal Rad van Avontuur wijst een willekeurige richting aan waarin de deelnemer een stap moet zetten. Hierbij hangt het aantal keer dat het rad wordt gedraaid (het aantal beurten) af van de inleg van de deelnemer. Doel is om terug te keren op de startpositie. Bovendien is er een extra prijs voor iedere keer dat de beginpositie wordt gepasseert. Hoe liggen de kansen bij gegeven inleg?
Zie archief: jaargang 15, nummer 5, april 1976
De dekpuntstelling van Brouwer
In 1910 verscheen het artikel Ueber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten van L.E.J. Brouwer. Vele jaren was dit het sleutelartikel op het gebied van de topologie, waarin een nieuwe richting aan het vak gegeven werd. De laatste regels van het artikel bevatten bovendien de fameuze stelling, die voortaan bekend zou staan als de dekpuntstelling van Brouwer.
Over de inhoud van de stelling hebben we al iets verteld in het voorgaande artikel. Nu willen we het hebben over het bewijs, voor het geval dimensie-2 weliswaar.
De dekpuntstelling wordt gewoonlijk geformuleerd voor een cirkelschijf. Omdat het een topologische stelling is, kunnen we die cirkelschijf evengoed vervangen door een volle gelijkzijdige driehoek \triangle: zijden en binnengebied tezamen. Noem de hoekpunten van de driehoek A, B en C. De dekpuntstelling luidt dan:
Dekpuntstelling. Iedere continue afbeelding g van \triangle naar \triangle heeft een dekpunt: er is een punt p in \triangle met g(p) = p.
Bij het bewijs komt heel wat kijken. Het is vooral zo gecompliceerd omdat de kern van het bewijs over combinatorische eigenschappen gaat. Het bewijs is dus een combinatie van topologie en combinatoriek. We zullen het bewijs in enkele hapklare brokken verdelen.
Neem vanaf dit moment aan dat we een continue afbeelding g van \triangle naar \triangle hebben. We zullen proberen een dekpunt van g te vinden.
Zie archief: jaargang 44, nummer 6, juni 2005
|
(totaal gevonden: 2) |
|
