 |
| | Gevonden online artikelen: | Bewijzen nalopen met de computer
In tegenstelling tot wat je misschien zou verwachten, gebruiken wiskundigen computers nauwelijks om hun wiskunde mee te doen. Ze gebruiken ze als tekstverwerker (om hun artikelen en boeken mee te schrijven) en ze gebruiken ze voor experimenten (om te kijken hoe speciale gevallen van hun stellingen zich gedragen), maar ze gebruiken ze niet om bewijzen mee te controleren. Wiskundige bewijzen zitten in mensenhoofden of zijn opgeschreven in mensentaal, en tot nog toe zijn ze bijna nooit zo opgeschreven dat er geen menselijk begrip nodig is om ze te kunnen nalopen.
lees artikel
Zie archief: jaargang 43, nummer 3, december 2003
De stelling van Pythagoras
De stelling van Pythagoras is een van de beroemdste stellingen uit de wiskunde. Het is misschien ook wel de stellingen waarvan het grootste aantal verschillende bewijzen bekend is. Hier geven we een bewijs dat gebaseerd is op een geometrische constructie.
lees artikel
De stelling van Jordan
Soms is een wiskundige stelling zo vanzelfsprekend dat niemand de moeite neemt hem te formuleren, laat staan te bewijzen. Dat gold lang voor het feit dat een gesloten kromme (zoals een cirkel, vierkant of ster) het vlak verdeelt in een binnen- en een buitengebied, en dat je niet van het ene in het andere gebied kunt komen zonder die kromme te snijden. De Fransman Camille Jordan (1838-1922) was een van de eerste wiskundigen die zich met dit soort 'problemen' bezighielden. Er bleek nog heel wat ingewikkelde wiskunde achter te zitten.
lees artikel
Zie archief: jaargang 44, nummer 2, november 2004
| | Gevonden artikelen in archief: | Echt vierkant
In 'Van Rechthoek naar vierkant' (Pythagoras 29-3) werd beschreven hoe een rechthoek in drie stukken kan worden geknipt, waarmee een vierkant kan worden gevormd. De lijnen waarlangs geknipt moet worden, werden bepaald met een contructie. Het bewijs van de juistheid van die constructie werd nog niet gegegen. Dat volgt hier.
Zie archief: jaargang 29, nummer 4, april 1990
Wybertjes in een zeshoek
De figuur op pagina 15 toont een regelmatige zeshoek die gevuld is met wybertjes. Ze zijn er in drie standen, en elke stand heeft een andere kleur. Van elke kleur zijn er evenveel; dat kun je natellen, maar je kunt het ook zien als je de figuur ruimtelijk interpreteert als een plaatje van gestapelde kubusjes. Kijk je in gedachten vanuit één richting tegen de wybertjes aan, dan zie je precies n2 vierkantjes, en dat zijn juist alle wybertjes van één kleur. Is dit een gerechtvaardigd bewijs? We maken een eind aan deze twijfel door een waterdicht bewijs te geven.
Zie archief: jaargang 29, nummer 4, april 1990
De vierkantenkrans
Teken een vierhoek met daarin een willekeurig punt P. Laat vanuit P loodlijnen neer op de zijden van de virhoek. Hierdoor wordt elke zijde in twee stukken verdeeld. Teken op elk van die stukken vierkanten. Om de oorspronkelijke vierhoek ontstaat dan een vierkantenkrans. Voor de vierkanten van deze krans geldt de volgende stelling: de som van de oppervlakten van de 'oneven' vierkanten is gelijk aan de som van de oppervlakten van de 'even' vierkanten. Er volgt een bewijs.
Zie archief: jaargang 29, nummer 5, september 1990
De stelling van Pythagoras
Een bewijs van de stelling van Pythagoras, ooit gegeven door Albert Einstein.
Zie archief: jaargang 35, nummer 2, december 1995
Knippen en schuiven
Een bewijs van de stelling van Pythagoras, met behulp van knippen en schuiven.
Zie archief: jaargang 40, nummer 3, februari 2001
Mijn schoolbewijs
Een bewijs van de stelling van Pythagoras, zoals de auteur dat vroeger zelf onderwezen gekregen heeft. Dat betekende voor hem een ommekeer in zijn saaie schoolbestaan. Fantastisch, dat je daarmee dingen kon uitrekenen die je op geen andere manier kon voorspellen.
Zie archief: jaargang 41, nummer 1, oktober 2001
Multatuli en de stelling van Pythagoras
Ruim honderd jaar geleden overleed de Nederlandse schrijver Multatuli, de schrijver van 'Max Havelaar'. Minder bekend zijn waarschijnlijk zijn 'Ideeen', die vanaf 1862 in zeven bundels verschijnen. In Idee 529 (bundel 2) geeft Multatuli een naar zijn zeggen nieuw bewijs voor de stelling van Pythagoras.
Zie archief: jaargang 27, nummer 1, februari 1988
Punten in een zeshoek
Binnen een regelmatige zeshoek met zijde a worden zeven willekeurige stippen gezet. Dan zijn er altijd minstens twee stippen, die onderlinge afstand gelijk of minder dan a hebben. Deze stelling gaan we bewijzen.
Zie archief: jaargang 32, nummer 3, januari 1993
Tweemaal pi
Meestal wordt pi, het beroemdste getal uit de wiskunde, gedefinieerd als de verhouding tussen de omtrek p en de diameter d van een cirkel. In een formule: p = pi d = 2 pi r, met r de straal van de cirkel. Maar je kunt pi ook definieren als de verhouding tussen de oppervlakte van de cirkel en r2: O = pi r2. De ene formule laat zich uit de andere afleiden. Hoe? Met taartpunten!
Zie archief: jaargang 25, nummer 4, april 1986
De vierkantenvierhoek uit een Grieks kruis
De eigenschap van de gelijke en loodrecht op elkaar staande verbindingslijnen in de vierkantenvierhoek vonden we mooi genoeg om in Pythagoras te zetten (nummer 25-1, pagina 16). De bewijzen die we hadden waren niet zo mooi. N. M. Buizert uit Amsterdam liet zien dat het wel simpel en begrijpelijk - dus ook mooi - kan!
Zie archief: jaargang 25, nummer 2, december 1985
Hoogtelijnen door een punt
Een hoogtelijn in een driehoek is een lijn vanuit een hoekpunt loodrecht op de tegenoverliggende zijde. De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door een punt. Een mooi en eenvoudig bewijs van deze stelling is afkomstig van de grote wiskundige Johann Carl Friedrich Gauss.
Zie archief: jaargang 27, nummer 6, augustus 1988
Wiskundige bewijzen
In de wiskunde wordt een bewering pas als 'waar' beschouwd als je hem kunt bewijzen. Zonder zo'n bewijs is een bewering hoogstens een vermoeden, dat misschien wel waar is, maar misschien ook wel niet.
Zie archief: jaargang 36, nummer 4, april 1997
Het vijfde postulaat
De Griekse wiskundige Euclides schreef zo'n 2300 jaar geleden zijn beroemde boeken 'de Elementen' over (vlakke) meetkunde. In deze boeken gaat hij uit van vijf postulaten. Eeuwenlang heeft men geprobeerd om aan te tonen dat het vijfde postulaat eigenlijk overbodig is, maar volgt uit de eerste vier. Het blijkt echter dat de eerste vier ook gelden op bijvoorbeeld bollen, maar het vijfde absoluut niet!
Zie archief: jaargang 36, nummer 4, april 1997
Als er één schaap over de dam is...
Er zijn veel manieren om iets aan te tonen. Een bruikbare methode daarbij is ook de manier van volledige inductie. Hierbij worden, uitgegaan van bepaalde zekerheden, meer algemene conclusies getrokken.
Zie archief: jaargang 30, nummer 3, april 1991
Een bewijs van Einstein?
Voor de stelling van Pythagoras bestaan veel bewijzen, wel meer dan honderd. De jonge Einstein vond het bewijs van Euclides nodeloos ingewikkeld en kwam met een vereenvoudiging. Hij gebruikte dat de opppervlakten van twee gelijkvormige driehoeken zich verhouden als de kwadraten van overeenkomstige zijden.
Zie archief: jaargang 41, nummer 6, augustus 2002
Kwadratisch optelen
Hier volgt een bewijs van de stelling dat 12+22+...+n2 gelijk is aan n(n+1)(2n+1):6. Daarvoor heb je volledige inductie nodig. In dit artikel wordt uitgelegd hoe dat in zijn werk gaat.
Zie archief: jaargang 35, nummer 3, maart 1996
Grootste priemgetal
Huug Schenk uit Bennekom stuurde een bewijs in, dat aantoont dat er geen grootste priemgetal bestaat. Preciezer, dat gegeven een priemgetal, je altijd een priemgetal kan maken dat groter is.
Zie archief: jaargang 32, nummer 1, september 1992
De drieschijf ingepakt
In het vorige nummer stelde Leon van den Broek de vraag: hoe ziet de perfect ingepakte drieschijf eruit. In dit artikel lees je het antwoord.
Zie archief: jaargang 43, nummer 3, december 2003
'Vier kleuren is voldoende', zegt de computer
Teken een landkaart, kleur de landen zó dat buurlanden nooit dezelfde kleur hebben, en gebruik daarbij zo min mogelijk kleuren. Je zult zien dat je aan vier kleuren genoeg hebt. Maar hoe bewijs je dat? Dat is kortgezegd het vierkleurenprobleem, waar inmiddels 150 jaar aan gewerkt is en dat vele bewijzen opgeleverd heeft waar echter altijd iets op aan te merken viel. Het eerste bewijs waar nog geen fout in ontdekt is, stamt uit 1976. Het is zo omvangrijk en ingewikkeld dat het alleen met een computer geleverd en gecontroleerd kan worden.
lees online artikel
Zie archief: jaargang 43, nummer 6, juni 2004
De stelling van Pick
Sommige wiskundige stellingen zijn zo fantastisch simpel en elegant, dat je je afvraagt: 'Waarom ben ik daar niet op gekomen!' Dit stukje gaat over precies zo'n stelling: eenvoudiger dan de stelling van Pythagoras, maar onbekend zelfs bij veel professionele wiskundigen. De stelling wordt vernoemd naar haar 'ontdekker': de Oostenrijkse wiskundige Georg Alexander Pick, geboren in 1859 in Wenen en omgekomen in 1942 in het concentratiekamp Theresienstadt, waarheen hij op 82-jarige leeftijd om zijn joodse afkomst gedeporteerd werd.
Zie archief: jaargang 44, nummer 1, september 2004
|
(totaal gevonden: 23) |
|
