 |
| | Gevonden online artikelen: | De gambsodulo puzzel
Met behulp van papier en lijm kun je heel eenvoudig zelf een topologische puzzel maken. Het enige wat je nodig hebt is een vel dun karton van A4-formaat, een stukje touw en plakband.
lees artikel
Zie archief: jaargang 40, nummer 3, februari 2001
Van bouwplaat naar oppervlak
Knippen en plakken is niet alleen een favoriete bezigheid van leerlingen op de basisschool, maar ook van topologen. Op een theoretisch niveau namelijk gebruiken zij bouwplaten om inzicht te krijgen in de wiskunde van oppervlakken. Hun veredeld knip-en-plak-werk heeft onder meer een fraaie stelling opgeleverd die een overzicht biedt van alle oppervlakken die mogelijk zijn.
lees artikel
Zie archief: jaargang 44, nummer 3, januari 2005
De stelling van Jordan
Soms is een wiskundige stelling zo vanzelfsprekend dat niemand de moeite neemt hem te formuleren, laat staan te bewijzen. Dat gold lang voor het feit dat een gesloten kromme (zoals een cirkel, vierkant of ster) het vlak verdeelt in een binnen- en een buitengebied, en dat je niet van het ene in het andere gebied kunt komen zonder die kromme te snijden. De Fransman Camille Jordan (1838-1922) was een van de eerste wiskundigen die zich met dit soort 'problemen' bezighielden. Er bleek nog heel wat ingewikkelde wiskunde achter te zitten.
lees artikel
Zie archief: jaargang 44, nummer 2, november 2004
| | Gevonden artikelen in archief: | Binnen of Buiten?
Fotoreportage van het uittrekken van een vest waarbij het colbert aangehouden kan worden. Dit is een voorbeeld van 'topological tomfoolery'.
Zie archief: jaargang 11, nummer 4, april 1972
L.E.J. Brouwer
Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) was misschien wel de grootste Nederlandse wiskundige ooit. Hij was een van de grondleggers van de topologie, een onderdeel van de moderne wiskunde. Zo verzon hij bijvoorbeeld een kromme die het vlak in drie gebieden verdeelt, zodat elk van de punten een uitzonderingspunt is, wat betekent dat elk van de punten aan alle drie gebieden grenst. (Een andere kromme die het vlak in drie gebieden verdeelt is de 8, deze heeft maar een uitzonderingspunt, namelijk het kruispunt middenin).
Zie archief: jaargang 36, nummer 2, december 1996
De formule van Euler
Als je van verschillende veelvlakken de aantallen hoekpunten, zijvlakken en ribben telt, dan blijkt er een verassend verband te bestaan. Dit verband staat bekend als de formule van Euler. Deze formule is eenvoudig te bewijzen en komt terug in veel verschillende takken van de wiskunde.
Zie archief: jaargang 42, nummer 2, december 2002
De wiskunde in de knoop
Een knoop is een enkelvoudig gesloten kromme (in ons geval: een touw) in de driedimensionale ruimte. Sommige knopen kun je in elkaar overvoeren zonder het touw stuk te maken: zulke knopen heten isomorf.
Zie archief: jaargang 4, nummer 3, Pythagoras 4-3
De meren van Wada
De kromme in de vorm van het getal 8 verdeelt het vlak in drie gebieden: twee 'binnengebieden' en een 'buitengebied'. Als grens van de drie gebieden bevat de 8 maar één zogenaamd drielandenpunt: een punt dat aan alle drie de gebieden ligt. Er zijn ook andere manieren om het vlak in drie aaneengesloten gebieden te verdelen. Probeer maar eens uit, je zult al gauw tot de overtuiging komen dat het niet mogelijk is meer dan twee drielandenpunten te maken. In 1910 kwam de Nederlander L.E.J. Brouwer met een opmerkelijk resultaat over verdelingen van het vlak in drie gebieden.
Zie archief: jaargang 44, nummer 2, november 2004
Topologie met de handen (afl.2)
Deze keer: Met een ruim zittend T-shirt en wat touw komt elk gezelschap los.
Zie archief: jaargang 44, nummer 2, november 2004
De dekpuntstelling van Brouwer
In 1910 verscheen het artikel Ueber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten van L.E.J. Brouwer. Vele jaren was dit het sleutelartikel op het gebied van de topologie, waarin een nieuwe richting aan het vak gegeven werd. De laatste regels van het artikel bevatten bovendien de fameuze stelling, die voortaan bekend zou staan als de dekpuntstelling van Brouwer.
Over de inhoud van de stelling hebben we al iets verteld in het voorgaande artikel. Nu willen we het hebben over het bewijs, voor het geval dimensie-2 weliswaar.
De dekpuntstelling wordt gewoonlijk geformuleerd voor een cirkelschijf. Omdat het een topologische stelling is, kunnen we die cirkelschijf evengoed vervangen door een volle gelijkzijdige driehoek \triangle: zijden en binnengebied tezamen. Noem de hoekpunten van de driehoek A, B en C. De dekpuntstelling luidt dan:
Dekpuntstelling. Iedere continue afbeelding g van \triangle naar \triangle heeft een dekpunt: er is een punt p in \triangle met g(p) = p.
Bij het bewijs komt heel wat kijken. Het is vooral zo gecompliceerd omdat de kern van het bewijs over combinatorische eigenschappen gaat. Het bewijs is dus een combinatie van topologie en combinatoriek. We zullen het bewijs in enkele hapklare brokken verdelen.
Neem vanaf dit moment aan dat we een continue afbeelding g van \triangle naar \triangle hebben. We zullen proberen een dekpunt van g te vinden.
Zie archief: jaargang 44, nummer 6, juni 2005
|
(totaal gevonden: 10) |
|
