 |
| | Gevonden artikelen in archief: | Pi-kwadraat gedeeld door zes
Het getal pi-kwadraat gedeeld door zes kun je benaderen met oneindige somreeksen.
Zie archief: jaargang 41, nummer 4, april 2002
Uit de geschiedenis van pi
Het getal pi, de verhouding tussen omtrek en diameter van een cirkel, is een irrationaal getal, dat wil zeggen, niet een breuk van twee gehele getallen. Het bewijs hiervan dateert uit 1767 en werd gegeven door de Zwitser Lambert. Maar je kunt natuurlijk wel proberen pi te benaderen met breuken. In de loop van de geschiedeis zijn er veel benaderingen bedacht, van heel simpele tot meer ingewikkelde. Een heel beroemde benadering is bijvoorbeeld 355/113, nauwkeurig tot op 6 decimalen na de komma.
Zie archief: jaargang 25, nummer 4, april 1986
Pi-benaderingen
Het artikel 'Pi in acht decimalen nauwkeurig' (Pythagoras 29-1) blijkt flink wat mensen aan het puzzelen gekregen te hebben. Hier enkele resultaten. De fraaiste is wortel(wortel(767/wortel(62))), met een kwaliteit van 195.
Zie archief: jaargang 29, nummer 4, april 1990
Versnelling van de Gregory-Leibniz-reeks
De reeks van Gregory-Leibniz is een oneindige som, die een benadering geeft voor pi/4: pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - ... Om verschillende redenen wordt de uitkomst maar langzaam benaderd. Maar daar kunnen we wat aan doen. We passen de reeks zodanig aan, dat de uitkomst veel sneller volgt.
Zie archief: jaargang 25, nummer 4, april 1986
Pi in (22)2 tweeen
Een aardigheidje: een benaderingsformule voor het getal pi met alleen maar tweeen: 16 stuks in totaal. Wat je ervoor nodig hebt: worteltrekken, kwadrateren, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, dat is alles. De benadering klopt tot op 10 decimalen.
Zie archief: jaargang 25, nummer 4, april 1986
Pi = 3,14?????...
Het berekenen van de decimalen van pi is altijd een bijzondere sport geweest. Als je kijkt naar de verschillende methoden, blijkt dat er grote verschillen bestaan tussen de hoeveelheid rekenwerk die nodig is om een bepaalde decimaal uit te rekenen. Heel verrassend is dat vrij recent een nieuwe rekenmethode is gevonden, waarvoor de hoeveelheid werk voor het vinden van 20 decimalen slechts het dubbele is van het werk voor het vinden van 10 decimalen.
Zie archief: jaargang 25, nummer 4, april 1986
Pi in acht decimalen nauwkeurig
Wortel(wortel(97 9/22)) is een verrassend goede benadering van het getal pi: acht decimalen zijn correct, terwijl voor deze benadering slechts 5 cijfers gebruikt zijn! Het artikel geeft een definitie van kwaliteit van een benadering. Volgens deze definitie heeft de gegeven benadering een hoge kwaliteit: 9929. Kun je zelf een benadering vinden met kwaliteit groter dan 10?
Zie archief: jaargang 29, nummer 1, september 1989
Pi in 15 (!) tweeen
We komen nog even terug op het stukje 'Pi in (22)2 tweeen' uit het vorige nummer. Met behulp van de benaderingsformules van Brent en Salmin vinden we namelijk een benaderingsformule voor pi met 15 tweeen.
Zie archief: jaargang 25, nummer 5, mei 1986
Chaos in de Newton-methode
Met de methode van Newton kun je op een efficiënte manier nulpunten van functies heel goed benaderen. Je geeft eerst zelf een benadering, waarna de methode je bij iedere stap een steeds betere benadering geeft. Maar als de eerste benadering niet goed genoeg is, gedraagt de methode zich als een dobbelsteen. Ook krijg je chaos als er teveel, of juist helemaal geen nulpunten zijn.
Zie archief: jaargang 36, nummer 3, februari 1997
Van Amsterdam naar Groningen
Voor kleine hoeken kun je de waarden van sinus en cosinus makkelijk schatten. We zullen zien hoe dat gaat en hoe je de schattingen kunt gebruiken, We doen dit aan de hand van het benaderen van de diepte van een kaarsrechte tunnel van Amsterdam naar Groningen. Schat eens hoe diep die in het midden is: (a) minder dan 10, (b) tussen 10 en 100 of (c) meer dan 100 meter.
Zie archief: jaargang 40, nummer 4, april 2001
Verbeterde formule van Stirling
Voor een natuurlijk getal n is het getal n! (n faculteit) gelijk aan 1*2*3*...*n. Het berekenen van faculteiten is lastig omdat de getallen heel snel erg groot worden. De wiskundige Stirling heeft daarom al in 1730 en formule afgeleid waarmeee je n! direct kunt benaderen. De formule zegt dat n! ongeveer gelijk is aan (n/e)n*wortel(2nPi). Kun je nog betere benaderingsformules voor n! bedenken? In dit artikel lees je hoe.
Zie archief: jaargang 17, nummer 2, november 1977
Worteltrekken zonder worteltoets
Er zijn zakrekenmachines waarmee je alleen maar kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Vaak ontbreekt de mogelijkheid voor worteltrekking. Hoe kun je dan bijvoorbeeld wortel 65 uitrekenen? Een heel eenvoudige manier om en wortel tot een gewenst aantal decimalen te vinden wordt in dit artikel uitgelegd.
Zie archief: jaargang 17, nummer 3, december 1977
Niet precies, maar wel ongeveer
Als je de derdemacht van 1,000012 wilt bereken, dan heb je daarvoor geen rekenmachine nodig. Het antwoord 1,000036 kun je namelijk uit je hoofd uitrekenen! Hoe je deze zeer goede benadering van de echte waarde 1,000036000432001728 vindt en hoe je de wortel van 4,008 eenvoudig uit je hoofd berekent, dat kun je in dit artikel lezen.
Zie archief: jaargang 17, nummer 3, december 1977
Euler sneller dan Newton
Elk irrationaal getal (zoals wortel 2, pi, e) ligt ingebed tussen rationale getallen. Bepaalde oneindige rationale rijen kunnen zo'n irrationaal getal aanduiden doordat de termen ervan verder en verder in de rij steeds dichter opeen liggen. Hier vergelijken we twee van zulke rijen die zich allebei verdichten rond e. Een voorschrift voor de ene rij, het bekende 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ..., werd al in 1665 vermeld door de Engelsman Newton, waarna in 1737 de Zwitser Euler een voorschrift gaf voor een veel minder bekende alternatieve rij. Bij het berekenen van de decimalen van e lijkt Euler het met 3-1 van Newton te winnen.
Zie archief: jaargang 43, nummer 6, juni 2004
Een touwtje om de aarde
We spannen een touw om de aarde, maken het een beetje langer en proberen het weer strak te trekken. Hoe hoog komt het dan te hangen?
Zie archief: jaargang 44, nummer 2, november 2004
|
(totaal gevonden: 15) |
|
