 |
| | Gevonden online artikelen: | Convexe veelvlakken met regelmatige zijvlakken
Toelichting op de Pythagoras-veelvlakkenposter van de jaargang 2002-2003.
lees artikel
Zie archief: jaargang 42, nummer 3, februari 2003
De regelmaat van veelvlakken
Pythagoras, Plato, Archimedes en Kepler verwonderden zich er al over: hoe prachtig regelmatig veelvlakken in elkaar kunnen zitten. Ongeslagen aan de top staan wat dat betreft de Platonische lichamen; in dit artikel bekijken we waarom. Vervolgens nemen we een kijkje in de subtop waar regelmaat ook uitbundig voorhanden is.
lees artikel
Zie archief: jaargang 42, nummer 1, oktober 2002
Een veelvlak met vele gezichten
Het Thiéry-veelvlak uit 1895 dat, afhankelijk van de kijkhoek, er steeds compleet anders uitziet. Met bouwplaat.
lees artikel
Zie archief: jaargang 42, nummer 6, juni 2003
Op zoek naar halfregelmatige veelvlakken
Van veelvlakken bestaan er prachtige overzichten waarop allerlei fraaie voorbeelden te zien zijn. Het is echter veel leuker om zelf op zoek te gaan naar deze veelvlakken dan om ze eenvoudig op te zoeken. De speurtocht in dit artikel leidt naar de serie van de halfregelmatige en verzekert je dat je aan het eind de hele serie gevonden hebt.
lees artikel
Zie archief: jaargang 42, nummer 2, december 2002
Regelmatige sterren
Naast de vijf regelmatige veelvlakken zijn er nog vier sterveelvlakken die, als je het op een bepaalde manier bekijkt, ook aanspraak kunnen maken op de titel 'regelmatig veelvlak'. In dit artikel staat hoe die sterveelvlakken in elkaar zitten en waarom ze regelmatig zijn. De eerste die werkte aan de sterveelvlakken was de astronoom Johannes Kepler; hij vond er twee, allebei met pentagrammen.
lees artikel
Zie archief: jaargang 42, nummer 3, februari 2003
| | Gevonden links: | Veelvlakkenpuzzels
Door verschillende veelvlakken op handige manieren te combineren kun je leuke puzzels maken. Bekende voorbeelden zijn de Soma kubus en de Sirius . Van deze puzzels en vele andere vind je op deze site uitgebreide bouwtekeningen. Daarnaast kun je er lezen over de wiskundige eigenschappen van de gebruikte veelvlakken.
http://home.compaqnet.nl/~kalde063/puzzels/menus/background/ned.htm
Tom's Origami Gallery
Een site met foto's van fraaie origami-veelvlakken. Uit eenvoudige geometrische basisfiguren kun je complexere vormen maken. Een aantal van de resultaten kun je vinden bij de 'Modular origami models' op deze site. Ook is er een subpagina over geometrische en vlakvullende modellen die uit een stuk papier gevouwen worden.
http://www.merrimack.edu/~thull/gallery/origamigallery.html
Tune's Polyhedron Models
Een site met een aantal fraaie modellen van veelvlakken.
http://www.tum.dds.nl/polyh/index.htm
| | Gevonden artikelen in archief: | Daken en dodecaeders
De Maastrichtse kunstenaar maakt ruimtelijke structuren waarin je voortdurend vijfhoeken tegenkomt en dodecaeders. Wij maken hier dodecaeders op dezelfde manier als de oude Grieken, namelijk door op de zijvlakken van een kubus op een bepaalde wijze 'dakjes' te zetten.
Zie archief: jaargang 27, nummer 1, februari 1988
De kip en het ei
Aan het regelmatig twaalfvlak (dodecaeder) is deze jaargang al eerder aandacht besteed. Een broertje (of zusje) van het regelmatig twaalfvlak is het regelmatig twintigvlak (icosaeder). Beide veelvlakken hebben veel met elkaar te maken. tel bijvoorbeeld maar eens het aantal hoekpunten, ribben en zijvlakken van beide.
Zie archief: jaargang 27, nummer 6, augustus 1988
Convexe en concave ruimtefiguren
We nemen een kubus en plaatsen tegen elk van de zes zijvlakken een zelfde regelmatige vierzijdige piramide. We krijgen dan een soort 'ster'. Niet alle verbindingslijnen van de punten van de ster liggen binnen deze ruimtefiguur. Die is daarom niet convex. We laten nu de punten van de ster zakken, net zoveel totdat de figuur convex wordt. We krijgen dan een (semi)regelmatig twaalfvlak, een rhombendodecaeder.
Zie archief: jaargang 35, nummer 2, december 1995
Vijf kubussen in een dodekaëder
Op de voorplaat van nummer 1 van deze jaargang stond een kubus die bevat is in een dodecader, een regelmatig twaalfvlak. In een leuk Engels modellenboekje vonden we een mooie plaat van vijf kubussen die door elkaar heen in een twaalfvlak zitten.
Zie archief: jaargang 27, nummer 4, mei 1988
Lantaarns met opvallende kappen
In een plaatselijk winkelcentrum ontdekte B.J.M. Roovers uit Eindhoven lantaarns met een opvallend uiterlijk. De vier kappen van zo'n lantaarn hebben de vorm van een veelvlak dat je niet dikwijls in kunst of kunstnijverheid tegenkomt: een zogenaamde rhombikuboctaeder. Het heeft 26 vlakken: 8 regelmatige driehoeken en 18 vierkanten.
Zie archief: jaargang 29, nummer 2, november 1989
Veelvlakken met zelfdoorsnijdingen
De bekendste veelvalkken zijn de regelmatige: teraeder, kubus, achtvlak, twaalf- en twintigvlak. Al deze veelvlakken omsluiten netjes één volume omsluiten. Hier bekijken we veelvlakken die zichzelf kunnen snijden, en zodoende meerdere volumes kunnen omsluiten.
Zie archief: jaargang 38, nummer 4, april 1999
Dodecaeder & isocaeder - een gulden duo
De gulden snede is de verhouding tussen de diagonaal en de zijde van de regelmatige vijfhoek.
Hij komt veel voor in het twaalfvlak en in het twintigvlak. Met dit inzicht kun je onder andere deze veelvlakken construeren.
Zie archief: jaargang 41, nummer 5, juni 2002
Draaien, draaien, ...
'M.C. Escher Kaleidozyklen' van Doris Schattschneider en Wallace Walker wordt warm aanbevolen. Voordat je een letter hebt gelezen, ben je al aan het knippen, vouwen en plakken. Want het boek bevat maar liefst zeventien bouwplaten van draaiende veelvlakken, veelal in kleur.
Zie archief: jaargang 27, nummer 4, mei 1988
Reis om de wereld
In 1943 publiceerde de Amerikaanse architect en uitvinder richard Buckminster Fuller (1895-1983) zijn dymaxion map. Dat was een wereldkaart met overal ongeveer dezelfde, zij het geringe vervormingen. De kaart kwam tot stand volgens een methode de tot dan toe nogniet eerder door kaartenmakers gebruikt werd.
Zie archief: jaargang 25, nummer 5, mei 1986
De regelmatige 24-cel
De regelmatige 24-cel is een van de regelmatige hyperveelvlakken in 4-D, de vierdimensionale ruimte. De cellen zijn regelmatige achtvlakken, daarvan zijn er 24.
Zie archief: jaargang 25, nummer 6, juli 1986
De regelmatige 16-cel
De regelmatige 16-cel ontstaat door een tekenvoorschrift voor een regelmatig achtvlak voort te zetten in de vierdimensionale ruimte. We zulen zien hoe dat gaat. Daarna zullen we de 16-cel op de 3-D ruimte projecteren.
Zie archief: jaargang 25, nummer 6, juli 1986
De regelmatige vijfcel
In het vorige nummer maakten van een 'uitstapje' naar de vier-dimensionale ruimte. We kwamen daar de hyperkubus, oftewel regelmatige achtcel tegen. We eindigden met een tastbare, drie-dimensionale bouwplaat van de hyperkubus, bestaande uit acht kubussen. Naast de regelmatige achtcel kennen we nog een aantal regelmatige vier-dimensionale figuren. Een daarvan is de regematige vijfcel, die we in dit artikel bestuderen.
Zie archief: jaargang 25, nummer 5, mei 1986
Reis in vier dimensies
Een hyperkubus is het analogon van de kubus, maar dan in vier dimensies. Hij bestaat uit acht kubussen. Een hyperkubus zelf kun je natuurlijk niet tekenen, maar wel zijn projectie in de derde dimensie. Op het omslag van dit nummer zie je een opengeklapte hyperkubus - een soort driedimensionale uitslag.
Zie archief: jaargang 25, nummer 4, april 1986
Hyperkubus in stukjes zagen
Een kubus kun je loodrecht op een van zijn lichaamsdiagonalen in plakjes zagen. De doorsneden beginnen dan als driehoeken, maar later krijg je ook vijfhoeken te zien. Evenzo kun je een hyperkubus in plakjes zagen. Elk plakje levert dan een drie-dimensionaal kristalvormig lichaam op. Prof. Lauwerier uit Amsterdam liet zijn computer dit zaagwerk uitvoeren. Het resultaat daarvan is afgebeeld.
Zie archief: jaargang 25, nummer 4, april 1986
Van punt tot hyperkubus
Een punt noemen we nuldimensionaal, een lijnstuk eendimensionaal, een kubus driedimensionaal. Waarom zouden we hier stoppen? Wat weerhoudt ons ervan om na het vierkant in twee dimensie en de kubus in driedimensies het dan volgende een hyperkubus te noemen, behorend tot de vierdimensionale wereld.
Zie archief: jaargang 14, nummer 4, Pythagoras 14-4
Voetbal
Hoe ziet een voetbal er uit? Bekijk hem nader - een mozaiek van zeshoeken en vijfhoeken. Om precies te zijn, 20 zeshoeken en 12 vijfhoeken, naar het schijnt in een bonte mengeling. Maar als je de voetbal tussen je vingertoppen laat wentelen, ontdek je dat er veel symmetrie in dat patroon zit.
Zie archief: jaargang 14, nummer 4, Pythagoras 14-4
Rotator-8
Het is niet moeilijk een ruimtelijk lichaam te maken uit acht gelijke regelmatige viervlakken, scharnierend aan elkaar verbonden. Het is een interessant figuur omdat de binnenzijde naar buiten gedraaid kan worden, waarbij je door kunt draaien zodat elk zijvlak zowel binnen als buiten kan komen. Met een bouwplaat.
Zie archief: jaargang 30, nummer 3, april 1991
Een onvast veertienvlak
Dit artikel geeft de bouwplaat van een veelvlak dat niet vast is, i.e. niet star: als je met een hand de langste ribbe vasthoudt, kun je de top een stuk heen en weer bewegen.
Zie archief: jaargang 22, nummer 3, januari 1983
Zelf veelvlakken maken
Veelvlakken zijn driedimensionale figuren die wiskundigen, filosofen en kunstenaars al eeuwenlang fascineren. Maak ze zelf aan de hand van dit stappenplan.
Zie archief: jaargang 42, nummer 1, oktober 2002
Hoe teken je?
Stauroliet is een mineraal dat dikwijls voorkomt als tweeling-kristallen die elkaar loodrecht doordringen. De vorm van zo'n kristal lijkt een beetje op de kruisgewelven die Escher in zijn prent `Hol en bol' gebruikte.
Hoe kun je zelf zo'n doorsnijding van twee veelvlakken tekenen?
Zie archief: jaargang 17, nummer 1, oktober 1977
Transformatie: Binnenste-buiten
De oppervlakte van een figuur is vaak makkelijk te bepalen met de knip- en plakmethode: de figuur wordt in stukken verknipt die dan weer aaneengevoegd worden tot een eenvoudiger figuur. Met deze methode kun je ook gemakkelijk de stelling van Pythagoras bewijzen.
Hoe kun je deze truc gebruiken om het volume van ruimtelijke figuren te bepalen?
Zie archief: jaargang 17, nummer 1, oktober 1977
Een bol beleggen met cirkels
Een voetbal is een afgerond veelvlak bestaande uit 12 vijfhoeken en 20 zeshoeken. Op basis van de regelmatige veelvlakken is het mogelijk om een bol met een aantal gelijke en elkaar rakende cirkels te bedekken.
Zie archief: jaargang 18, nummer 2, november 1978
De laatste loodjes: de regelmatige 120- en 600-cel
Van de regelmatige hyperveelvlakken in de vierdimensionale ruimte hebben we reeds behandeld: de hyperkubus, de regelmatige vijfcel, de 8-cel, de 16-cel en de 24-cel. Er zijn nog twee andere regelmatige figuren over: een met 120 cellen en een met maar liefst 600 cellen. Als toegift behandelen we dimensies hoger dan vier, waarin - voor elke dimensie groter dan vier - slechts drie regelmatige figuren bestaan.
Zie archief: jaargang 25, nummer 6, juli 1986
Gulden ruitenveelvlakken
Het gulden ruitendertigvlak van Kepler is al in de vorige aflevering van de gulden-snedeserie besproken. Maar er zijn nog meer gulden ruitenveelvlakken, bijvoorbeeld Fedorows ruiten twintigvlak en het tweelfvlak van Bilinski. Verder zijn er nog twee verschillende zesvlakken: A6 en O6.
Zie archief: jaargang 41, nummer 6, augustus 2002
Veelvlakken
Dit themanummer is volledig gewijd aan veelvlakken. De volgende onderwerpen komen aan bod:
1. Inleiding
2. Convex en concaaf
3. De stelling van Euler
4. Regelmatige veelvlakken
5. Deltaveelvlakken
6. Archimedische lichamen
7. Regelmatige sterren
8. Ruimtevullend stapelen
Zie archief: jaargang 16, nummer 4, februari 1977
Spanningsbollen
We bouwen veelvlakken uit staafjes en elastiekjes. Daarbij treedt een merkwaardig evenwicht van krachten op en wel alleen inwendige in de vorm van trek en druk. Er worden diverse veelvlakken geconstrueerd, bij sommigen gaan de staafjes door het middelpunt, anderen met diagonalen die niet door het middelpunt gaan.
Zie archief: jaargang 16, nummer 5, april 1977
Veelvlakken kleuren
Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak keluren, en wel zo dat aangrenzende zijvlakken verschillende kleuren krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan nodig? Op dezelfde manier kun je vragen hoeveel kleuren je nodig hebt voor een landkaart, zodat geen twee aangrenzende landen dezelfde kleur hebben.
Zie archief: jaargang 42, nummer 3, februari 2003
Halfregelmatige veelvlakken en vlakvullingen
Een veelvlak is halfregelmatig als het convex is, regelmatige zijvlakken heeft en onderling congruente hoekpunten. Archimedes ontdekte er in de oudheid al 13. Het blijkt dat je deze allemaal kunt construeren als je uitgaat van de regelmatige Platonische veelvlakken.
Zie archief: jaargang 42, nummer 3, februari 2003
Vlechtmodellen met Rhinoceros
Rhinoceros is een computertekenprogramma waarmee je driedimensionale modellen exact kunt tekenen. Met het programma bijvoorbeeld zijn de figuren voor de Pythagoras veelvlakkenposter gemaakt. Tekeningen kun je ermee omwerken tot prachtige plaatjes en ze kunnen zelfs driedimensionaal worden uitgeprint. In dit artikel wordt uitgelegd hoe je zelf met Rhinoceros een icosidodecaeder kunt tekenen. Een volledig werkende demoversie is te downloaden op www.rhino3d.nl/pythagoras.
Zie archief: jaargang 42, nummer 3, februari 2003
Zelf veelvlakken maken
Met stroken papier kun je op een ingenieuze manier een bal vlechten. De vlechtpatronen die daarbij ontstaan zijn gebaseerd op veelvlakken. Ook kun je met driehoeken, vierkanten en splitpennen een drie-in-een model maken dat afhankelijk van de stand drie verschillende veelvlakken vormt.
Zie archief: jaargang 42, nummer 3, februari 2003
Veelvlakken prijsvraag
Er zijn heel veel soorten veelvlakken, van de vertrouwde kubus tot de romben-icosadodecaeder. Knutsel een model van een veelvlak waarin je de bijzonderheden ervan laat zien. Er zijn fantastische prijzen te winnen!
lees online artikel
Zie archief: jaargang 42, nummer 1, oktober 2002
Zelf veelvlakken maken
Het zelf maken van een model van een veelvlak of bijvoorbeeld een bol is niet moeilijk, kan met bijna gratis huis-tuin-en-keuken materialen en is vooral erg leuk! In dit artikel kun je zien hoe je van roerstaafjes een (half)regelmatig veelvlak kunt maken en van plastic bekertjes een grote bol.
Zie archief: jaargang 42, nummer 2, december 2002
De formule van Euler
Als je van verschillende veelvlakken de aantallen hoekpunten, zijvlakken en ribben telt, dan blijkt er een verassend verband te bestaan. Dit verband staat bekend als de formule van Euler. Deze formule is eenvoudig te bewijzen en komt terug in veel verschillende takken van de wiskunde.
Zie archief: jaargang 42, nummer 2, december 2002
Zelf veelvlakken maken
Met vouwblaadjes kun je gemakkelijk zelf veelvlakken maken. Eerst vouw je een aantal 'bouwstenen', die je vervolgens in elkaar kunt schuiven tot een kubus of een icosaëder waarvan de zijvlakken ingedeukt zijn.
Zie archief: jaargang 42, nummer 5, april 2003
Zelf veelvlakken maken, deel 5
Veelvlakken: driedimensionale geometrische figuren die wiskundigen, filosofen en kunstenaars al eeuwenlang fascineren. In deze aflevering: een uitvouwdodecaeder van ribbeltjeskarton.
Zie archief: jaargang 42, nummer 6, juni 2003
De bol van Montreal
In Montreal (Canada) sttat een reuzachtig gebouw van 61 meter hoog in de vorm van een bol. Het is helemaal opgebouwd uit driehoeken. Hoe zit dit futuristische bouwwerk in elkaar?
Zie archief: jaargang 12, nummer 4, Pythagoras 12-4
Bouwschema van de kosmos?
Een regelmatig veelvlak is een lichaam, dat door congruente regelmatige veelhoeken wordt begrensd, zodanig dat er in elk punt evenveel hoeken samenkomen. De astronoom Kepler dacht dat het heelal helemaal uit zulke regelmatig veelvlakken bestond.
Zie archief: jaargang 3, nummer 4, Pythagoras 3-4
Een formule van Euler II
Met behulp van grafentheorie vinden we het verband tussen het aantal hoekpunten, zijvlakken en ribben van een veelvlak. Dit verband staat bekend als de formule van Euler.
Zie archief: jaargang 4, nummer 4, Pythagoras 4-4
Het Platonische systeem
Volgens de overlevering stelde Plato als eerste vast dat er vijf regelmatige veelvlakken zijn: de tetraëder, de kubus, de octaëder, de dodecaëder en de icosaëder. Sindsdien staan de vijf bekend als de Platonische lichamen. Kenmerkend aan een Platonisch lichaam is dat de zijvlakken onderling congruent zijn, en dat de hoekpunten alle op dezelfde manier zijn opgebouwd. Vandaar dat het bij de Platonische lichamen draait om twee getallen: het aantal hoeken van een zijvlak (n), en het aantal ribben dat in elk hoekpunt samenkomt (v).
Zie archief: jaargang 43, nummer 6, juni 2004
Nieuwe platonische lichamen
Lange tijd was iedereen ervan overtuigd dat er maar vijf regelmatige veelvlakken bestaan: de tetraëder, de kubus, de octaëder, de dodecaëder en de icosaëder. Dit vijftal staat bekend onder de naam platonische lichamen. Kenmerkend aan een platonisch lichaam is dat de zijvlakken onderling congruente, regelmatige veelhoeken zijn, en dat de hoekpunten alle op dezelfde manier zijn opgebouwd.
Bij een platonisch lichaam draait het om twee getallen: n, het aantal hoeken van een zijvlak, en v, het aantal ribben dat in elk hoekpunt samenkomt. Bij de kubus geldt dat n = 4, want een kubus is opgebouwd uit vierhoeken, en v = 3, want in elk hoekpunt komen drie ribben samen. De kubus geven we verder aan als {4, 3}.
Vorig jaar riep Popke Bakker in het juninummer van Pythagoras op om systematisch te onderzoeken welke combinaties {n, v} allemaal mogelijk zijn. De mogelijkheden bracht hij onder in een tabel, het Platonisch systeem.
Marleen Kooiman ging aan de slag en bedacht bij nog twee openstaande vakjes in de tabel nieuwe platonische lichamen.
Zie archief: jaargang 44, nummer 6, juni 2005
|
(totaal gevonden: 48) |
|
