 |
| | Gevonden online artikelen: | Een extra dimensie aan regelmatige vlakvullingen
De kubus is een ruimtevuller, omdat je met louter kubusvormige bouwstenen de ruimte geheel zou kunnen vullen. Wiskundigen en kristallografen hebben in de loop van de tijd ook andere ruimtevullers gevonden, maar vooralsnog ontbreekt het overzicht van wat alle elementaire mogelijkheden zijn. In dit artikel beschrijft Frans Snik twee verrassende ruimtevullers, TTS en QTS geheten, die Russell Towle en hijzelf onafhankelijk van elkaar onlangs ontdekt hebben.
lees artikel
Zie archief: jaargang 42, nummer 6, juni 2003
Vier Sangaku-opdrachten
Sangaku is Japans voor wiskunde-tablet. Veel meetkundigen lieten een Sangaku maken om de goden te danken voor de ontdekking van een stelling. Het bewijs van de stelling werd zelden gegeven, maar werd als uitdaging overgeleaten aan andere meetkundigen: 'Kijk maar eens of je dit kunt.' In dit artikel vind je vier Sangaku-opdrachten om zelf op te lossen.
lees artikel
Zie archief: jaargang 38, nummer 5, juni 1999
| | Gevonden artikelen in archief: | Drie-koorden-speciaal
Hoe je op een verrassend eenvoudige manier - met slechts drie cirkels - de hoogtelijnen van een driehoek construeert.
Zie archief: jaargang 27, nummer 2, maart 1988
De oppervlakte van een cirkel is pi r2, en ...
Bepaal de oppervlakte van een figuur samengesteld uit vier (overlappende) cirkels.
Zie archief: jaargang 27, nummer 3, april 1988
Inversie
Inversie in een cirkel is een bepaalde transformatie van het platte vlak: punten van buiten de cirkel worden op een bepaalde manier afgebeeld op punten binnen de cirkel en omgekeerd. Dit artikel bespreekt de eigenschappen van cirkelinversie, onder andere aan de hand van vier computerprogramma's.
Zie archief: jaargang 29, nummer 4, april 1990
Het parelsnoer
In het artikel 'Inversie' is beschreven hoe een aantal eigenschappen van de (cirkel)inversie met de computer kunnen worden ontdekt. Die eigenschappen zijn te gebruiken om allerlei aardige meetkundige figuren te construeren, zoals bij voorbeeld het parelsnoer. Dat bestaat uit twee grote cirkels die elkaar inwendig raken. De tussenruimte is opgevuld met elkaar onderling rakende kleinere cirkels. We laten zien hoe de figuur met inversie en met hulp van de computer in een wip is te contrueren.
Zie archief: jaargang 29, nummer 5, september 1990
De kale vergelijking
Een toepassing van de 'kale' vergelijking a cos x + b sin x = c: het bepalen van de twee raaklijnen aan een cirkel vanuit een punt buiten die cirkel.
Zie archief: jaargang 35, nummer 2, december 1995
Japanse tempelwiskunde
In oude Japanse tempels kun je vaak mooie tekeningen aantreffen op houten plankjes, ook wel sangaku genaamd. Ze werden in de tempels opgehangen als geschenk aan de goden. Behalve veel afbeeldingen van paarden zijn er ook een groot aantal meetkundige figuren gevonden. Hoe kan op zo'n ongewone plek nu wiskunde opduiken?
Zie archief: jaargang 38, nummer 5, juni 1999
Kattenaids, robots en Fermat
Drie boekbesprekingen:
- Kattenaids en Statistiek doorJan van de Broek en Peter Kop (bespreking door Marte Koning)
- Robot Club (bespreking door Jair Smits)
- Het laatste raadsel van Fermat door Simon Singh (besproken door Allard Veldman)
Zie archief: jaargang 38, nummer 6, augustus 1999
Schaakbord binnenste buiten
Lang gelden op de omslag van Pythagoras 14-1 werd een figuur gepresenteerd als een schaakbord binnenste buiten. Helaas ten onrechte. De figuur, hoe fraai ook, is geen schaakbord binnenste buiten. Ook geen dambord. Maar wat dan wel? En hoe ziet een schaakbord binnenste buiten er dan uit?
Zie archief: jaargang 29, nummer 6, oktober 1990
De parelsnoerformule afgeleid
Uit Pythagoras 28-5 komt de formule voor cirkelinversie. Daarmee leiden we de formule af voor het gekromde parelsnoer uit hetzelfde nummer.
Zie archief: jaargang 29, nummer 6, oktober 1990
Meetkunde met de muis
Meetkundige figuren tekenden we vroeger met potlood, passer, liniaal en de geodriehoek. Tegenwoordig zijn er meetkundeprogramma's als Cabri, waarmee je op de computerscherm meetkundige figuren te voorschijn tovert. Dit artikel gaat over drie rakende cirkels, waaraan veel meetkundigs te ontdekken valt.
Zie archief: jaargang 41, nummer 1, oktober 2001
'Uit de kunst' II, inverse figuren
In het vorige nummer van Pythagoras onderging een schaakbord een complete gedaanteverwisseling. Die berustte daarop dat inversie toegepast op een rechte lijn een cirkel als beeldfiguur opleverde. Het resultaat was opmerkelijk, zelfs kunstzinnig verrassend. Omdat inversie de gelegenheid biedt voor kreatief bezig zijn, is het de moeite waard eerst nog eens na te gaan, wat deze afbeelding precies inhoudt.
Zie archief: jaargang 14, nummer 2, Pythagoras 14-2
Een eitje, zo'n eitje
In het oktobernummer (Pythagoras 40-1) beschreef Dick Klingens de constructie van een eivorm met behulp van een aantal cirkelbogen. Hieronder is de constructie nog eens weergegeven, samen met de constructiestappen. Alle stappen kunnen worden uitgevoerd met passer en liniaal. Verschillende eivormen worden geconstrueerd: onder ander op basis van een 3:4:5-driehoek en een vijfpuntsei.
Zie archief: jaargang 40, nummer 2, december 2000
Cirkels in spitsbogen
Een van de opvallendste elementen van de gotische bouwstijl is de spitsboog. Deze ontstaat door twee cirkelbogen tegen elkaar aan te laten lopen. Dikwijls is het vlak binnen de spitsboog versierd met een maaswerk, dat eveneens uit cirkels en cirkelbogen is opgebouwd. We bestuderen onder andere een spitsboog in de kloostergang van de Utrechtse Dom.
Zie archief: jaargang 32, nummer 1, september 1992
De straal van de stuwdam
De wand van de stuwdam van Bionaz (Zwitserland) is bolvormig, om weerstand te bieden aan de enorme waterdruk. De opdracht voor de tweeedeklassers die er op schoolkamp waren was: bepaal de straal van de stuwdam. Als enig materiaal kregen ze mee: een bordliniaal en een lang stuk vliegertouw.
Zie archief: jaargang 32, nummer 2, november 1992
Het spiegelingsprincipe
Welke driehoek heeft van alle driehoeken met een gegeven omtrek de grootste oppervlakte? Dat is natuurlijk een gelijkzijdige driehoek. Deze bewering kun je bewijzen met het spiegelingsprincipe.
Zie archief: jaargang 37, nummer 1, oktober 1997
Mooie tafels
Een rechthoekige tafel wordt veel mooier als je de hoeken afrondt. Maar hoe doe je dat? Met een cirkelboog, met een ellips of nog anders?
Zie archief: jaargang 32, nummer 4, maart 1993
Speelse poolcoordinaten, 1
Behalve met rechthoekige coordinaten kan de positie van een punt in het platte vlak ook vastgelegd worden met poolcoordinaten: in plaats van een x- en een y-coordinaat gebruikt je een straal (de afstand tot O) en een hoek, i.e. de hoek met de positieve x-as.
Zie archief: jaargang 11, nummer 1, oktober 1971
Ellipsen en spiralen
In de bouwkunde en de techniek is het soms handig om ellipsen en spiralen te benaderen met behulp van cirkelbogen. De opeenvolgende cirkelbogen moeten dan delen zijn van elkaar rakende cirkels, anders is de aansluiting niet vloeiend.
Zie archief: jaargang 32, nummer 5, mei 1993
De passertruc
Hoe kun je met alleen een passer een gegeven lijnstuk precies een keer verlengen met de lengte van het gegeven lijnstuk?
Zie archief: jaargang 32, nummer 2, november 1992
Passertruc
In Pythagoras 32-2 stond een methode om alleen door middel van cirkelbogen bepaalde punten te vinden. Er mogen dus geen lijnen getrokken worden. Het is zoiets als voetballen: geen hand aan de bal. Jean de Montigny uit Amstelveen kon er geen genoeg van krijgen en stuurde een eigen variant.
Zie archief: jaargang 32, nummer 6, juli 1993
De straal van de stuwdam
Met een aantal jongeren hielden we een bergkamp in de Alpen van Noord-Italie. Naast allerlei tochten en beklimmingen stonden ook de nodige technische zaken op het programma. Een daarvan: bepaal de straal van de stuwdam, die het stuwmeer van Place Moulin afsluit, dat gelegen is in een van de zijdalen van de Aosta-vallei. Ons gereedschap bestond uit een stuk touw een een doodgewone liniaal.
Zie archief: jaargang 25, nummer 3, januari 1986
Tweemaal pi
Meestal wordt pi, het beroemdste getal uit de wiskunde, gedefinieerd als de verhouding tussen de omtrek p en de diameter d van een cirkel. In een formule: p = pi d = 2 pi r, met r de straal van de cirkel. Maar je kunt pi ook definieren als de verhouding tussen de oppervlakte van de cirkel en r2: O = pi r2. De ene formule laat zich uit de andere afleiden. Hoe? Met taartpunten!
Zie archief: jaargang 25, nummer 4, april 1986
Per koets door de bocht
Je weet vast wel dat, als je met de auto een bocht maakt, het binnenwiel langzamer gaat dan het buitenwiel. Verbaast het je als ik je vertel dat het binnewiel in de bocht soms stilstaat, terwijl het voertuig toch vooruitgaat? Sterker nog: ik zag laatst sporen in de sneeuw waaraan je kon zien dat het binnenwiel in de bocht zelfs achteruit was gegaan!
Zie archief: jaargang 25, nummer 5, mei 1986
Denkertjes
Vijf `Denkertjes'. 1) Bewijs dat alle gele cirkels op de omslag even groot zijn, 4) Maak een tovervierkant met de getallen 1 t/m 25. De oplossingen staan in hetzelfde nummer.
Zie archief: jaargang 15, nummer 3, januari 1976
Van 3 tot 'pi', een lange weg
In het boek der Koningen moet voor de tempel van Salomo een ronde kuip met middellijn 10 el en omtrek 30 el gemaakt worden. Is de verhouding 1 : 3 wel juist? Bepaal experimenteel een formule voor de omtrek en oppervlakte van een cirkel. Wat is het wiskundige verband tussen de twee formules?
Zie archief: jaargang 15, nummer 1, oktober 1975
De 200-mijlszone
Internationaal is vastgelegd dat een zone met een breedte van 50 mijl voor de kust van een land tot het territorium van dat land behoort. Hoe kan zo'n zone op de zeekaart eigenlijk uitgemeten worden? De zee tussen Engeland en Nederland is door een soort bissectrice in tweeen gedeeld. Die lijn is voor beide landen erg belangrijk in verband met hun oliebelangen op het continentaal plat. Hoe kan zo'n bissectrice worden uitgetekend?
Zie archief: jaargang 15, nummer 5, april 1976
Galilei en zijn valproeven
Galilei was hoogleraar in de wiskunde aan de universiteit van Pisa toen hij in 1596 zijn beroemde valproef vanaf de scheve toren deed. Minder bekend is de moeizame weg waarlangs hij zijn theorie moest opbouwen. De grootste handicap was wel het ontbreken van een nauwkeurige tijdmeter. Hij werkte met polsslag en water-uurwerk!
Zie archief: jaargang 15, nummer 5, april 1976
Geheimzinnige cirkels
Teken een (grote) cirkel en verdeel de rand in 24 gelijke delen. Trek alle mogelijke verbindingslijnen tussen de 24 punten op de rand. In de figuur die ontstaat zie je, als je je ogen dichtknijpt een aantal (schijn)cirkels. Hoeveel zijn dat er? En hoeveel als je de rand niet in 24 gelijke delen verdeel, maar in 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... gelijke stukken?
Zie archief: jaargang 26, nummer 1, november 1986
Parabolen uit cirkels en rechten
Een figuur is opgebouwd uit concentrische cirkels en evenwijdige rechten. Van deze parabolen zijn echter alleen een aantal punten aanwezig als snijpunten van de cirkels met de rechten. Als we de snijpunten met elkaar verbinden dan ontstaan twee groepen parabolen. Hoe kun je bewijzen dat deze krommen inderdaad parabolen zijn?
Zie archief: jaargang 30, nummer 1, december 1990
Gaatjes boren, moeilijker dan je denkt
Vaak worden er in platen gaatjes geboord. Soms is dat om materiaal te besparen, om de zaak lichter te houden: soms is het om iets door te laten. Bij dat boren willen we een regelmatig patroon krijgen: dat werkt beter en staat netter. Wanneer zo'n plaat rechthoekig is, lijkt de opgave niet moeilijk. Wanneer de vorm geen rechthoek, maar bijvoorbeeld een cirkel is, liggen de zaken niet meer zo eenvoudig. Hetzelfde probleem komen we ook tegen bij bolvormige oppervlakken.
Zie archief: jaargang 30, nummer 2, maart 1991
De maantjes van Hippokrates
Het vignet dat we al jarenlang gebruiken bij de opgaven en antwoorden van de Pythagoras Olympiade bestaat uit een rechthoekige driehoek en drie halve cirkels, waarvan de middelpunten zijn: de middens van de zijden van die driehoek. Erwin Charlier uit Nederweert was geinteresseerd geraakt in deze figuur, en vond een bewijs voor de eigenschap dat de oppervlakte van de twee donkere maansikkels gelijk is aan die van de driehoek.
Zie archief: jaargang 26, nummer 3, maart 1987
De vier-cirkel klok
Een opgave van een soort dat in puzzelboeken regelmatig voorkomt. De vraag is om in de twaalf open rondjes de getallen 1, 2, ..., 12 zo te plaatsen dat het totaal op elk van de vier cirkels gelijk wordt. Met zo maar wat in het wilde weg proberen breng je het waarschijnlijk niet ver. Het duurde een hele tijd voor we op het idee kwamen dat de cirkels in de opgave-figuur niet echt belangrijk zijn voor het probleem. En dat de figuur dus vervormd mocht worden tot iets dat er wat overzichtelijker uitziet.
Zie archief: jaargang 26, nummer 3, maart 1987
Fascinerende cirkel
We gaan kijken naar twee elkaar snijdende koorden in een cirkel. Heinrich Bubeck dat het product van de twee stukken waarin ze elkaar verdelen, voor beide hetzelfde is.
Zie archief: jaargang 35, nummer 4, juni 1996
De supercirkels van Piet Hein
De Deense wiskundige Piet Hein kreeg een idee toen hij de kwadratische vergelijkingen zag van ellipsen en cirkels. Hij wilde deze vergelijkingen algemener maken door de kwadraten te vervangen door andere exponenten. We gaan onderzoeken welke krommen je dan krijgt.
Zie archief: jaargang 30, nummer 5, juli 1991
De cirkels van Rijkswaterstaat
Voor de bochten in autowegen neemt Rijkswaterstaat het liefst cirkelbogen, want dan hoef je in de bocht niet steeds aan je stuur te draaien. Die cirkelbogen hebben lengten van honderden meters en stralen die van dezelfde orde van grootte zijn. In dit artikel wordt uitgelegd hoe de wegenbouwers in de praktijk dit soort cirkelbogen construeren.
Zie archief: jaargang 28, nummer 2, januari 1989
Denkertje, Een vreemde limiet met uitkomst pi = 2
Teken een lijnstuk met lengte 2r. Teken tevens de cirkelboog met straal r. De lengte van deze halve cirkel is pi x r. Halveer de straal en verdubbel het aantal cirkels. De lengte van de cirkelbogen blijft gelijk. Door het proces oneindig vaak te herhalen ontstaat een lijn met lengte 2r.
Zie archief: jaargang 16, nummer 2, november 1976
Een bol beleggen met cirkels
Een voetbal is een afgerond veelvlak bestaande uit 12 vijfhoeken en 20 zeshoeken. Op basis van de regelmatige veelvlakken is het mogelijk om een bol met een aantal gelijke en elkaar rakende cirkels te bedekken.
Zie archief: jaargang 18, nummer 2, november 1978
Drie in de pan
Als we drie pannenkoekjes tegelijk in een ronde pan willen bakken, zal het wel het meest voor de hand liggen, om ervoor te zorgen dat ze alledrie evengroot zijn, elkaar raken en ook de rand van de ronde koekenpan. Hoe zit dat met meerdere gelijke pannenkoekjes? Hoe verandert dan de bedekkingsgraad van de koekenpan?
Zie archief: jaargang 18, nummer 2, november 1978
Viermaal rond een riks
Trek een rijksdaalder om met een potlood en doe dat nog eeen keer zo, dat de ontstane cirkels elkaar snijden. Trek nu nogmaals een rijksdaalder om, zo dat de ontstane cirkel door een snijpunt van de twee andere cirkels gaat. Er zijn nu nog drie andere snijpunten en wonderbaarlijk genoeg liggen deze drie snijpunten weer precies op de rand van een rijksdaalder! Hoe werkt deze truc?
Zie archief: jaargang 17, nummer 3, december 1977
Biljarten met een bal...
Een bekend probleem gaat over een wiskundig biljartspel, waarbij de vraag gesteld wordt: hoe moet je zo tegen een biljartbal aanstoten, dat deze, na treffen van alle 4 de banden, op zijn uitgangspositie terugkeert. Een klassiek probleem. Maar hoe zit het als de biljarttafel rond is in plaats van rechthoekig?
Zie archief: jaargang 17, nummer 4, februari 1978
Van alles over twee cirkels
De derde opgave van de 21e Internationale Wiskunde Olympiade luidde als volgt:
In het vlak liggen twee snijdende cirkels C1 en C2. Punt A is een van de snijpunten. Twee punten P1 en P2 doorlopen de cirkels C1 resp. C2 met constante snelheid. Zij beginnen tegelijkertijd in A en komen na een omloop ook weer gelijk in A aan. Bewijs dat er een punt P is dat op elk tijdstip gelijke afstanden heeft tot P1 en P2. Wat is de oplossing?
Zie archief: jaargang 19, nummer 4, februari 1980
Een cirkel wordt afgewikkeld
Zet een rol plakband recht op een vel tekenpapier, en plak een potlood aan het uiteinde. Als je het plakband afrolt, krijg je een kromme op het papier te zien. Die kromme heet een afwikkelingslijn of evolvente.
Zie archief: jaargang 3, nummer 1, Pythagoras 3-1
De stelling van de papegaai
Bespreking van het boek 'De stelling van de papegaai' van Denis Guedj.
lees online artikel
Zie archief: jaargang 39, nummer 6, augustus 2000
Een touwtje om de aarde
We spannen een touw om de aarde, maken het een beetje langer en proberen het weer strak te trekken. Hoe hoog komt het dan te hangen?
Zie archief: jaargang 44, nummer 2, november 2004
|
(totaal gevonden: 46) |
|
