 |
| | Gevonden online artikelen: | Vier Sangaku-opdrachten
Sangaku is Japans voor wiskunde-tablet. Veel meetkundigen lieten een Sangaku maken om de goden te danken voor de ontdekking van een stelling. Het bewijs van de stelling werd zelden gegeven, maar werd als uitdaging overgeleaten aan andere meetkundigen: 'Kijk maar eens of je dit kunt.' In dit artikel vind je vier Sangaku-opdrachten om zelf op te lossen.
lees artikel
Zie archief: jaargang 38, nummer 5, juni 1999
Vier Sangaku-opdrachten: oplossingen
In het juninummer (1999) van Pythagoras stonden vier Sangaku-opdrachten: traditionele wiskundeproblemen die vroeger in Japanse tempels hingen. In dit artikel vind je de oplossingen.
lees artikel
Zie archief: jaargang 38, nummer 6, augustus 1999
| | Gevonden links: | Homepage van David Eppstein
David Eppstein is hoogleraar informatica aan de University of California, Irvine (USA). Op zijn homepage staan een aantal schitterende sites:
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/
| | Gevonden artikelen in archief: | Projectieve meetkunde I
Wat projecteren is, zien we het makkelijkst bij een projectielantaarn. Van de prent op de dia wordt een beeld geworpen op het projectscherm. Dat beeld is een vergroting en gelijkvormig met de prent. In de projectieve meetkunde worden eigenschappen van figuren bestudeerd, die bij projecteren invariant zijn.
Zie archief: jaargang 2, nummer 1, Pythagoras 2-1
Het delische probleem I
Drie wiskundeproblemen uit de Griekse oudheid hebben een zekere vermaardheid verkregen, omdat de oplossing ervan niet gelukt. Eerst in onze tijd zijn de nevels die rond deze problemen hingen opgeklaard. Deze problemen zijn: de kwadratuur van de cirkel, de trisectie van de hoek en de verdubbeling van de kubus. Over het laatste gaat dit artikel: de verdubbeling van de kubus met behulp van passer en liniaal.
Zie archief: jaargang 2, nummer 1, Pythagoras 2-1
Platlanders V
Platlanders zijn wezentjes, die in een wereld leven die alleen lengte en breedte kent, geen hoogte. Een Platlander die zijn hele leven gewoond heeft in een plat vlak, wordt tot zijn grote verbazing overgebracht naar een gebogen vlak, nl. een biljartbal. De Platlander probeert nu te bewijzen, dat het platland-heelal waarin hij nu verblijft, gekromd is.
Zie archief: jaargang 2, nummer 1, Pythagoras 2-1
Echt vierkant
In 'Van Rechthoek naar vierkant' (Pythagoras 29-3) werd beschreven hoe een rechthoek in drie stukken kan worden geknipt, waarmee een vierkant kan worden gevormd. De lijnen waarlangs geknipt moet worden, werden bepaald met een contructie. Het bewijs van de juistheid van die constructie werd nog niet gegegen. Dat volgt hier.
Zie archief: jaargang 29, nummer 4, april 1990
Projectieve meetkunde II
In het vorige nummer maakten we kennis met centrale- en parallelprojectie. We zagen dat sommige eigenschappen van figuren (bijvoorbeeld het evenwijdig zijn van zijden) bij parallelprojectie wel blijven bestaan, maar bij centrale projectie niet. In de projectieve meetkunde worden die eigenschappen van figuren bestudeerd, die bij elk soort projectie invariant zijn.
Zie archief: jaargang 2, nummer 2, Pythagoras 2-2
Platlanders VI
Onze Platlander schrijft een brief aan Prof. Stein, waarin hij beschrijft hoe hij zou willen bewijzen dat zijn heelal gekromd is. bij het uitzetten van een stelsel driehoeken doet hij een merkwaardige ontdekking.
Zie archief: jaargang 2, nummer 2, Pythagoras 2-2
Meetkunde spelen met speelkaarten I
Besproken worden schema's van n rijen en k kolommen die aan bepaalde voorwaarden moeten voldoen. In het bijzonder een schema van 4
bij 13 speelkaarten.
Zie archief: jaargang 2, nummer 4, Pythagoras 2-4
Platlanders
Onze platlander heeft ontdekt dat de som van de hoeken van een driehoek in Platland groter is dan 180 graden. Hij vermoedt dat dit verband houdt met het gekromd zijn van het platland-heelal. Hij brengt een bezoek aan professor Stein, waarmee hij een aantal meetkundige begrippen en stelling bediscussieert.
Zie archief: jaargang 22, nummer 4, februari 1983
De vlinderstelling
Trek door het midden M van een koorde AB van een cirkel twee andere koorden CD en EF. Geef de snijpunten van CE en DF aan met G en H. Dan is M ook het midden van GH.
Zie archief: jaargang 27, nummer 2, maart 1988
Vlinders in het vlak
Het bewijs van de vlinderstelling, die elders in dit nummer geintroduceerd is.
Zie archief: jaargang 27, nummer 2, maart 1988
Vlinders in de ruimte
Met behulp van projectieve meetkunde wordt de vlinderstelling (zie elders in dit nummer) ook bewezen voor ellipsen.
Zie archief: jaargang 27, nummer 2, maart 1988
Met passer en liniaal
Onderzoeken en tekenen, dat zijn de belangrijkste onderdelen van de meetkunde. Onderzoeken hoe figuren in elkaar zitten en wat je er in het algemeen over te weten kunt komen. Daarvoor gebruiken we meestal twee instrumenten: een passer en een liniaal. Over constructies met deze instrumenten gaat dit artikel.
Zie archief: jaargang 27, nummer 3, april 1988
Driedeling volgens Archimedes
De Griek Archimedes bedacht een fraaie constructie om een hoek te maken, die driemaal zo klein is als een willekeurige gegeven hoek. Zoals voorgeschreven, maakte hij alleen gebruik van passer en liniaal. Maar ... op die liniaal moeten twee merktekens worden gezet. En dat was niet helemaal volgens de spelregels die de oude Grieken zich hadden opgelegd.
Zie archief: jaargang 27, nummer 3, april 1988
Driedeling volgens Nicomedes
Een tijdgenoot van Archimedes, de Griek Nicomedes, was ook sterk in het verzinnen van trucjes. Zo bedacht hij - op zoek naar de trisectie (driedeling) van de hoek - een vernunftig instrument, de schuifliniaal. In plaats daarvan kan echter net zo goed een liniaal met drie merktekens worden gebruikt.
Zie archief: jaargang 27, nummer 3, april 1988
2000 jaar onopgemerkt
De rechte die een hoek in twee gelijke stukken verdeelt, heet bissectrice. De twee rechten die een hoek in drieen verdelen, heten trisectrices. Een bekende stelling luidt: In een willekeurige driehoek gaan de drie bisectrices door een punt. Valt er over de trisectrices in een driehoek ook iets dergelijks te vermelden?
Zie archief: jaargang 27, nummer 3, april 1988
Verder aan de slag
Een vervolg op het artikel 'Aan de slag met Pythagoras', uit dit nummer. Gegeven is weer een rechthoek ABCD. We vragen ons af, waar de punten P liggen, waarvoor PA2 + PC2 constant is.
Zie archief: jaargang 27, nummer 4, mei 1988
Opnieuw de vlinderstelling
Een ander bewijs van de vlinderstelling uit een vorig nummer, ingestuurd door Jeroen Paasschens uit Bladel. Het maakt gebruik vvan puntspiegelingen.
Zie archief: jaargang 27, nummer 5, juli 1988
Het reguleren van veelhoeken
Teken een willekeurige vijfhoek. Construeer op elk der zijden een gelijkbenige driehoek met tophoek van 72 graden. Door de toppen van de driehoeken te verbinden, ontstaat een nieuwe vijfhoek. Door dit procede nog twee keer te herhalen (met tophoeken van 144 en 216 graden) ontstaat een regelmatige vijfhoek. Dit is de stelling van Petr, die geldt voor veelhoeken met 3 of meer hoekpunten.
Zie archief: jaargang 29, nummer 1, september 1989
Vlinders
De vlinderkromme is verzonnen door de Amerikaanse wiskundige Temple H. Fay. Het gaat om een vlakke kromme, die punt voor punt getekend wordt met behulp van een computerprogramma. Als je het programma runt, verschijnt er een fraaie vlindervorm op het scherm.
Zie archief: jaargang 29, nummer 1, september 1989
Een vouwpuzzel
Vouw een strook papier één keer dubbel. Als je de dubbelgevouwen strook tegen het licht houdt, zie je een driehoek. Over die driehoek worden drie vragen gesteld.
Zie archief: jaargang 29, nummer 1, september 1989
Driehoek in vierkant
Kun je een gelijkzijdige driehoek construeren in een gegeven vierkant zo, dat de hoekpunten van de driehoek op de zijden van het vierkant liggen.
Zie archief: jaargang 29, nummer 2, november 1989
Van rechthoek naar vierkant
Neem een rechthoekig stuk papier. Probeer dat in drie stukken te knippen die opnieuw aaneengevoegd een vierkant vormen.
Zie archief: jaargang 29, nummer 3, januari 1990
Probleem van Fagnano
Zoek in een scherphoekige driehoek ABC de ingeschreven driehoek UVW met de kleinst mogelijke omtrek. Dit probleem stamt uit 1775 en is afkomstig van J.F. Toschi Fagnano. De hier volgende oplossing is van Leopold Feyer (1880-1959). Daarbij wordt slechts een beroep gedaan op de meest elementaire meetkundekennis.
Zie archief: jaargang 29, nummer 4, april 1990
Wybertjes in een zeshoek
De figuur op pagina 15 toont een regelmatige zeshoek die gevuld is met wybertjes. Ze zijn er in drie standen, en elke stand heeft een andere kleur. Van elke kleur zijn er evenveel; dat kun je natellen, maar je kunt het ook zien als je de figuur ruimtelijk interpreteert als een plaatje van gestapelde kubusjes. Kijk je in gedachten vanuit één richting tegen de wybertjes aan, dan zie je precies n2 vierkantjes, en dat zijn juist alle wybertjes van één kleur. Is dit een gerechtvaardigd bewijs? We maken een eind aan deze twijfel door een waterdicht bewijs te geven.
Zie archief: jaargang 29, nummer 4, april 1990
Inversie
Inversie in een cirkel is een bepaalde transformatie van het platte vlak: punten van buiten de cirkel worden op een bepaalde manier afgebeeld op punten binnen de cirkel en omgekeerd. Dit artikel bespreekt de eigenschappen van cirkelinversie, onder andere aan de hand van vier computerprogramma's.
Zie archief: jaargang 29, nummer 4, april 1990
De vierkantenkrans
Teken een vierhoek met daarin een willekeurig punt P. Laat vanuit P loodlijnen neer op de zijden van de virhoek. Hierdoor wordt elke zijde in twee stukken verdeeld. Teken op elk van die stukken vierkanten. Om de oorspronkelijke vierhoek ontstaat dan een vierkantenkrans. Voor de vierkanten van deze krans geldt de volgende stelling: de som van de oppervlakten van de 'oneven' vierkanten is gelijk aan de som van de oppervlakten van de 'even' vierkanten. Er volgt een bewijs.
Zie archief: jaargang 29, nummer 5, september 1990
Japanse tempelwiskunde
In oude Japanse tempels kun je vaak mooie tekeningen aantreffen op houten plankjes, ook wel sangaku genaamd. Ze werden in de tempels opgehangen als geschenk aan de goden. Behalve veel afbeeldingen van paarden zijn er ook een groot aantal meetkundige figuren gevonden. Hoe kan op zo'n ongewone plek nu wiskunde opduiken?
Zie archief: jaargang 38, nummer 5, juni 1999
Een boer verdeelt zijn land
Een boer heeft een driehoekig stuk land ABC dat aan de provinciale weg ligt. Voor zijn drie zonen wil hij dit in drie stukken verdelen met gelijke oppervlakte. Daarom verdeelt de boer zijn land door twee lijnen evenwijdig aan de basis AB van de driehoek. Hoe moet hij dat doen?
Zie archief: jaargang 29, nummer 5, september 1990
Mijn schoolbewijs
Een bewijs van de stelling van Pythagoras, zoals de auteur dat vroeger zelf onderwezen gekregen heeft. Dat betekende voor hem een ommekeer in zijn saaie schoolbestaan. Fantastisch, dat je daarmee dingen kon uitrekenen die je op geen andere manier kon voorspellen.
Zie archief: jaargang 41, nummer 1, oktober 2001
De regelmatige driehoeken driehoek
Teken een driehoek ABC. Zet op de zijden naar buiten toe regelmatige driehoeken. Verbind de toppen van deze driehoeken. Dit is een regelmatige driehoek. Geloof je het niet? Probeer het zelf maar. Het bewijs van deze bewering kun je lezen in het volgende nummer.
Zie archief: jaargang 29, nummer 4, april 1990
Het eirond en het langrond
Twee meetkundige constructies van eivormen, het eirond en het langrond, die je met passer en liniaal kunt tekenen. Of met Cabri.
Zie archief: jaargang 40, nummer 1, oktober 2000
Halveren zonder schaalverdeling II
Hoe een lijnstuk kunt halveren met een liniaal zonder schaalverdeling, is in het vorige nummer besproken. Het bewijs van deze methode volgt in dit artikel.
Zie archief: jaargang 27, nummer 3, april 1988
Platlanders
Platlanders zijn wezens die slechts twee afmetingen hebben, lengte en breedte. Platlanders die op een boloppervlak leven, doen eigenaardige ontdekkingen. Bijvoorbeeld dat de omtrek van een cirkel niet 2.pi.r is. Bovendien zijn evenwijdige lijnen spoorloos verdwenen. Ook is er iets geks aan de hand met de som van de hoeken van een driehoek.
Zie archief: jaargang 22, nummer 1, oktober 1982
Aan de slag met Pythagoras
Teken een rechthoek ABCD. Zet ergens een willekeurig punt P. Trek PA, PB, PC en PD. Dan geldt: PA2 + PC2 = PB2 + PD2.
Naar een idee van H. Visscher uit Utrecht.
Zie archief: jaargang 27, nummer 4, mei 1988
Drie-koorden-stelling omgekeerd
Construeer een cirkel die raakt aan een gegeven cirkel en gaat door twee gegeven punten A en A'.
Zie archief: jaargang 27, nummer 4, mei 1988
Meetkunde met de muis
Meetkundige figuren tekenden we vroeger met potlood, passer, liniaal en de geodriehoek. Tegenwoordig zijn er meetkundeprogramma's als Cabri, waarmee je op de computerscherm meetkundige figuren te voorschijn tovert. Dit artikel gaat over drie rakende cirkels, waaraan veel meetkundigs te ontdekken valt.
Zie archief: jaargang 41, nummer 1, oktober 2001
'Uit de kunst' II, inverse figuren
In het vorige nummer van Pythagoras onderging een schaakbord een complete gedaanteverwisseling. Die berustte daarop dat inversie toegepast op een rechte lijn een cirkel als beeldfiguur opleverde. Het resultaat was opmerkelijk, zelfs kunstzinnig verrassend. Omdat inversie de gelegenheid biedt voor kreatief bezig zijn, is het de moeite waard eerst nog eens na te gaan, wat deze afbeelding precies inhoudt.
Zie archief: jaargang 14, nummer 2, Pythagoras 14-2
Trapezium in tweeen
Een kijkpuzzeltje: hoe een trapezium in tweeen te verdelen met een lijnstuk evenwijdig aan de basis.
Zie archief: jaargang 29, nummer 3, januari 1990
Spiralen
Eigenschappen van verschillende soorten vlakke spiralen.
Zie archief: jaargang 39, nummer 6, augustus 2000
Sierlijke betegelingen
Decoratieve vlakvullingen kun je zelf maken uitgaande van een paar simpele meetkundige vormen. Deze elementaire vormen zijn misschien wel abstract, maar heel gemakkelijk om mee te werken en ze leveren prachtige evenwichtige en kleurrijke patronen op.
Zie archief: jaargang 37, nummer 4, april 1998
Waar gaat dat heen?
Zet op een velletje papier willekeurig drie punten A, B en C (niet op een lijn). Plaats ergens een vierde punt startpunt S. Kies nu steeds willekeurig een van de punten A, B of C en verplaats je vanuit S precies halverwege naar het gekozen punt. Dat wordt je nieuwe startpunt. Herhaal deze procedure vele malen. Welke figuur krijg je dan?
Zie archief: jaargang 27, nummer 1, februari 1988
Werken met verhoudingen
In een gelijkzijdige driehoek wordt de basis verdeeld in de verhouding 1 : 2. Vanuit de top wordt een lijn neergelaten naar het deelpunt op de basis. Zodoende wordt de driehoek verdeeld in twee kleinere driehoeken. Hoe verhouden hun oppervlakten zich tot elkaar?
Zie archief: jaargang 32, nummer 1, september 1992
Cirkels in spitsbogen
Een van de opvallendste elementen van de gotische bouwstijl is de spitsboog. Deze ontstaat door twee cirkelbogen tegen elkaar aan te laten lopen. Dikwijls is het vlak binnen de spitsboog versierd met een maaswerk, dat eveneens uit cirkels en cirkelbogen is opgebouwd. We bestuderen onder andere een spitsboog in de kloostergang van de Utrechtse Dom.
Zie archief: jaargang 32, nummer 1, september 1992
De meetkundige reeks
Een formule voor de meetkundige reeks: 1 + x + x2 + x3 + ... Het artikel geeft een formule om deze snel uit te rekenen. Met als toepassingen: het tellen van graankorrels, en het oplossen van de paradox van Achilles en de schildpad.
Zie archief: jaargang 40, nummer 3, februari 2001
Knippatroon voor de stelling van P.
Een knippatroon als bewijs voor de stelling van Pythagoras.
Zie archief: jaargang 15, nummer 1, oktober 1975
Denkertjes
Vijf `Denkertjes'. 1) Bewijs dat alle gele cirkels op de omslag even groot zijn, 4) Maak een tovervierkant met de getallen 1 t/m 25. De oplossingen staan in hetzelfde nummer.
Zie archief: jaargang 15, nummer 3, januari 1976
Een wiskundeprobleem bij een gezellig onderonsje
Wie begint er nou over wiskunde bij zo'n gelegenheid? Toch heb je de volle aandacht als je beweert: Ik kan bewijzen dat een stompe hoek even groot is als een rechte hoek.
Zie archief: jaargang 15, nummer 4, februari 1976
Denkertjes
Welke vorm kan met een rechte knip in 4 losse identieke stukken worden verdeeld? (pagina 35) Strobalen stapelen (pagina 44).
Oplossingen op pagina 48.
Zie archief: jaargang 15, nummer 2, november 1975
Een hoek in drieen
Een hoek in twee gelijke delen verdelen is niet zo moeilijk. Maar hoe zou je een hoek in drieen kunnen verdelen?
Zie archief: jaargang 15, nummer 1, oktober 1975
De 200-mijlszone
Internationaal is vastgelegd dat een zone met een breedte van 50 mijl voor de kust van een land tot het territorium van dat land behoort. Hoe kan zo'n zone op de zeekaart eigenlijk uitgemeten worden? De zee tussen Engeland en Nederland is door een soort bissectrice in tweeen gedeeld. Die lijn is voor beide landen erg belangrijk in verband met hun oliebelangen op het continentaal plat. Hoe kan zo'n bissectrice worden uitgetekend?
Zie archief: jaargang 15, nummer 5, april 1976
Galilei en zijn valproeven
Galilei was hoogleraar in de wiskunde aan de universiteit van Pisa toen hij in 1596 zijn beroemde valproef vanaf de scheve toren deed. Minder bekend is de moeizame weg waarlangs hij zijn theorie moest opbouwen. De grootste handicap was wel het ontbreken van een nauwkeurige tijdmeter. Hij werkte met polsslag en water-uurwerk!
Zie archief: jaargang 15, nummer 5, april 1976
Een wiskundeprobleem bij een gezellig onderonsje
Te bewijzen: een stompe hoek is even groot als een rechte hoek.
Zie archief: jaargang 30, nummer 1, december 1990
Van Amsterdam naar Groningen
Voor kleine hoeken kun je de waarden van sinus en cosinus makkelijk schatten. We zullen zien hoe dat gaat en hoe je de schattingen kunt gebruiken, We doen dit aan de hand van het benaderen van de diepte van een kaarsrechte tunnel van Amsterdam naar Groningen. Schat eens hoe diep die in het midden is: (a) minder dan 10, (b) tussen 10 en 100 of (c) meer dan 100 meter.
Zie archief: jaargang 40, nummer 4, april 2001
Tussen krom en recht
De aarde is een bol. Als we ons van A naar B willen begeven, voert de kortste weg ons langs een grootcirkel van die bol. Maar eigenlijk is er nog een kortere weg: dwars door de aarde heen langs een rechte lijn! Heb je er enig idee van hoeveel het in afstand zou schelen als je, laten we zeggen van Groningen naar Maastricht, door een rechte tunnel kon?
Zie archief: jaargang 30, nummer 1, december 1990
Hoogten meten met een geometrisch kwadrant
Als je zelf hoogten wilt gaan meten van gebouwen of bomen in je omgeving, kun je dat vaak handig doen met een instrument dat daar vroeger eeuwenlang voor in gebruik geweest is, maar nu in de vergetelheid is geraakt. De kwadrant blijkt zo vernuftig te zijn, dat de uiteindelijk berekening beperkt blijft tot één vermenigvuldiging en één deling. Hoe maak je zelf een kwadrant en hoe moet je er mee werken?
Zie archief: jaargang 30, nummer 2, maart 1991
Boomhoogten meten met een baak
Staan er in Nederland of Belgie bomen van meer dan 30 meter hoog? Niemand weet het. Hopelijk wordt je door dit artikel over methoden van hoogtemeting aangemoedigd om hoge bomen in je omgeving op te meten, en ons je resultaten te laten weten.
Zie archief: jaargang 25, nummer 2, december 1985
Enkele interessante krommen V
In de eerste jaargang werd in elk der nummers een interessante kromme besproken. Daarbij werd beschreven, hoe deze met passer en lineaal gecontrueerd konden worden. We ontvingen van Leendert Klein Haneveld uit Stadskanaal een briefje, waarin hij meldde dat hij een instrument vervaardigd had om cycloiden en trochoiden mechanisch te tekenen.
Zie archief: jaargang 2, nummer 1, Pythagoras 2-1
Hoogtelijnen door een punt
Een hoogtelijn in een driehoek is een lijn vanuit een hoekpunt loodrecht op de tegenoverliggende zijde. De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door een punt. Een mooi en eenvoudig bewijs van deze stelling is afkomstig van de grote wiskundige Johann Carl Friedrich Gauss.
Zie archief: jaargang 27, nummer 6, augustus 1988
Bijna zonder passer
Gegeven is een lijn l en een punt P niet op l. Construeer met passer en liniaal (zonder schaalverdeling) de loodlijn dor P op l. Gebruikt de passer zo weinig mogelijk.
Zie archief: jaargang 27, nummer 6, augustus 1988
Het vijfde postulaat
De Griekse wiskundige Euclides schreef zo'n 2300 jaar geleden zijn beroemde boeken 'de Elementen' over (vlakke) meetkunde. In deze boeken gaat hij uit van vijf postulaten. Eeuwenlang heeft men geprobeerd om aan te tonen dat het vijfde postulaat eigenlijk overbodig is, maar volgt uit de eerste vier. Het blijkt echter dat de eerste vier ook gelden op bijvoorbeeld bollen, maar het vijfde absoluut niet!
Zie archief: jaargang 36, nummer 4, april 1997
Napoleon en zijn vrijetijdsbesteding
Napoleon Bonaparte had een diepgaande belangstelling voor wiskunde, speciaal de meetkunde. Hij was bijzonder geinteresseerd in het werk van Mascheroni over meetkundige constructies met uitsluitend de passer als gereedschap.
Zie archief: jaargang 15, nummer 4, februari 1976
Geen formule, maar wel een fraaie ei-constructie
Een fraaie manier om een ei-vormige kromme te construeren gebruikt twee cirkels met verschillende middelpunten. Zie ook het artikel: `De ei-kromme' in dit nummer.
Zie archief: jaargang 17, nummer 1, oktober 1977
Transformatie: Binnenste-buiten
De oppervlakte van een figuur is vaak makkelijk te bepalen met de knip- en plakmethode: de figuur wordt in stukken verknipt die dan weer aaneengevoegd worden tot een eenvoudiger figuur. Met deze methode kun je ook gemakkelijk de stelling van Pythagoras bewijzen.
Hoe kun je deze truc gebruiken om het volume van ruimtelijke figuren te bepalen?
Zie archief: jaargang 17, nummer 1, oktober 1977
Werken met een onbereikbaar punt
Is het je nooit overkomen, dat je bij een tekening of constructie je tekenblad moest vergroten omdat je een lijn moest trekken naar een snijpunt dat buiten het tekenvlak lag? Vooral bij perspectief tekeningen komt dit probleem nogal eens voor. Er is echter een zeer elegante oplossing voor dit probleem: de verdwijnpuntliniaal. Hoe dit instrument werkt en hoe je het zelf kunt maken wordt in dit artikel uitgelegd.
Zie archief: jaargang 17, nummer 2, november 1977
Knippatronen voor de stelling van Pythagoras
Hoe bewijs je de stelling van Pythagoras door middel van louter knippen en plakken? Hier zie je twee manieren waarop dat kan.
Zie archief: jaargang 17, nummer 1, oktober 1977
Hoe diep is dat gat?
Als je wilt weten hoe hoog een toren is, dan is het niet nodig om een touwtje te spannen van de top tot de voet en dan de lengte van dat touw op te meten. Je kunt eenvoudiger op de grond blijven en een hoekmeting uitvoeren. Zo kun je ook de afstand tot de zon meten zonder naar de zon te reizen. Hoe kun je op afstand de lengte van een buis bepalen?
Zie archief: jaargang 17, nummer 2, november 1977
Pythagoras:eindeloos!
Er zijn veel bewijzen van de stelling van Pythagoras met behulp van `knippen en plakken'. Het bewijs dat in dit artikel wordt gegeven is echter wel heel bijzonder omdat er oneindig veel driehoekjes geknipt worden en weer aan elkaar geplakt tot een vierkant.
Zie archief: jaargang 17, nummer 2, november 1977
Gaatjes boren, moeilijker dan je denkt
Vaak worden er in platen gaatjes geboord. Soms is dat om materiaal te sparen, om de zaak lichter te houden; soms is het om iets door te laten, zoals bij een telefoonkop. Bij dat boren willen we een regelmatig patroon krijgen: dat werkt beter en staat netter. Voor een rechthoekige plaat is dat niet zo moeilijk, maar hoe moet je de gaatjes verdelen over een ronde plaat? En hoe moet dat op het oppervlak van een bol?
Zie archief: jaargang 17, nummer 3, december 1977
Viermaal rond een riks
Trek een rijksdaalder om met een potlood en doe dat nog eeen keer zo, dat de ontstane cirkels elkaar snijden. Trek nu nogmaals een rijksdaalder om, zo dat de ontstane cirkel door een snijpunt van de twee andere cirkels gaat. Er zijn nu nog drie andere snijpunten en wonderbaarlijk genoeg liggen deze drie snijpunten weer precies op de rand van een rijksdaalder! Hoe werkt deze truc?
Zie archief: jaargang 17, nummer 3, december 1977
Biljarten met een bal...
Een bekend probleem gaat over een wiskundig biljartspel, waarbij de vraag gesteld wordt: hoe moet je zo tegen een biljartbal aanstoten, dat deze, na treffen van alle 4 de banden, op zijn uitgangspositie terugkeert. Een klassiek probleem. Maar hoe zit het als de biljarttafel rond is in plaats van rechthoekig?
Zie archief: jaargang 17, nummer 4, februari 1978
Spelen met de passer
Wanneer je met een passer een cirkel trekt, en vervolgens telkens cirkelbogen naar een volgend punt op de cirkel trekt, ontstaat een soort zesvoudige bloem. Maar waarom valt eigenlijk het zevende punt precies op het eerste punt? Is daar een eenvoudig bewijs voor?
Zie archief: jaargang 17, nummer 4, februari 1978
2x60 graden
Van twee verwante meetkundepuzzels gaat de eerste als volgt. Aan de rand van een vlakke woestijn liggen drie woningen: A, B en C. De bewoners willen met elkaar verbonden worden door een telefoonlijn, waarvan de totale lengte zo kort mogelijk moet zijn. De oplossing van dit probleem levert een elegante meetkundige configuratie op waarin het punt van Torricelli de hoofdrol speelt.
Zie archief: jaargang 17, nummer 5, maart 1978
De hoek om
Het komt nog al eens voor: bij een verhuizing raakt een ladder of bed in het trappenhuis muurvast. De zaak is te lang of te breed om de hoek om te kunnen. We beperken ons hier tot het platte vlak. Stel dat we een lange gang hebben met daarin en haakse hoek. Wat is nu de langste stok die we nog net de hoek om kunnen krijgen? Hoe zit het met andere vormen, bijvoorbeeld een gebogen staaf?
Zie archief: jaargang 17, nummer 5, maart 1978
Nog eens de hoek om
In het platte vlak ligt een rechthoekige `gang' met daarin een rechte hoek. Wat is dan de vorm met de grootste oppervlakte die we door de gang heen om de hoek heen kunnen duwen? (Zie ook het artikel `De hoek om' op pagina 105).
Zie archief: jaargang 17, nummer 5, maart 1978
De schaduwen van Studio Sport
Wanneer een voetbalwedstrijd bij kunstlicht wordt gespeeld, werpen de vier lichtmasten op de hoekpunten van het speelveld schaduwen. Iedere speler wordt continu begeleid door vier schaduwen die van lengte en richting veranderen als de speler zich verplaatst. Hoe gedraagt deze configuratie van vier schaduwvectoren zich? Kun je bijvoorbeeld uit de schaduwen de positie van de speler aflezen?
Zie archief: jaargang 17, nummer 5, maart 1978
Pythagoras en de Amerikaanse president
Er zijn veel bewijzen bekend van de stelling van Pythagoras. Maar wist je dat er ook een bewijs bestaat dat is bedacht door een Amerikaanse president?
Zie archief: jaargang 17, nummer 5, maart 1978
Spiralen uit vierkanten
Op de omslag van dit nummer is een figuur te zien die bestaat uit steeds kleiner wordende ringen van vierkanten. In elke ring zitten precies twaalf vierkanten. Hoe je deze figuur kunt construeren kun je in dit artikel lezen. Wat zou er gebeuren als je ringen van bijvoorbeeld tien vierkanten maakt?
Zie archief: jaargang 19, nummer 4, februari 1980
Van alles over twee cirkels
De derde opgave van de 21e Internationale Wiskunde Olympiade luidde als volgt:
In het vlak liggen twee snijdende cirkels C1 en C2. Punt A is een van de snijpunten. Twee punten P1 en P2 doorlopen de cirkels C1 resp. C2 met constante snelheid. Zij beginnen tegelijkertijd in A en komen na een omloop ook weer gelijk in A aan. Bewijs dat er een punt P is dat op elk tijdstip gelijke afstanden heeft tot P1 en P2. Wat is de oplossing?
Zie archief: jaargang 19, nummer 4, februari 1980
Een vernuftige oriëntatiemethode
Met een stok op een zonnig strand en wat geduld is het niet moeilijk vast te stellen waar het zuiden is. Maar heb je nog twee stokjes en wat touw, dan kun je zelfs ontdekken op welke breedtegraad je je bevindt. De methode stamt uit de oudheid en was van grote waarde in een tijd waarin je nog niet je exacte plaats op aarde met een GPS-horloge kon achterhalen.
Zie archief: jaargang 42, nummer 6, juni 2003
|
(totaal gevonden: 82) |
|
