door André de Boer"; include("$base/common/header.php3"); ?> logo

Alle Nederlanders zijn even oud

Elders in het augustusnummer van 1999 hebben we het domino-principe uit de doeken gedaan, een wiskundige bewijstechniek. Maar je moet het principe wel correct toepassen, want anders kun je hiermee aantonen dat in Nederland iedereen even oud is.

Iedereen in Nederland is even oud. Dat zullen we hier gaan bewijzen. In feite gaan we iets algemeners bewijzen, namelijk:

$\begin{displaymath}\vbox{\it In elke groep mensen is iedereen even oud.} \end{displaymath}$

Als dit waar is, is ook iedereen in Nederland even oud. We bewijzen de algemenere bewering. Het aantal mensen in de groep noemen we n. Voor een bewijs met volledige inductie moeten we twee dingen aantonen:
1. nagaan dat de bewering geldt voor n=1.
2. het domino-effect: aannemende dat de bewering klopt voor n personen, moeten we aantonen dat de bewering ook klopt voor n+1 personen.

Het bewijs

1. De eerste stap is eenvoudig. Er is maar één persoon, dus iedereen in de groep heeft dezelfde leeftijd. De eerste dominosteen van het bewijs is gevallen.

2. In de tweede stap van het bewijs moeten we het domino-effect aantonen: als de bewering klopt voor n personen, dan ook voor n+1 personen. Neem daarom aan dat de uitspraak waar is voor elke gezelschap dat uit n personen bestaat, dit is de inductieveronderstelling. Bekijk nu een groep van n+1 personen:

$\begin{displaymath}\underbrace{\strut\bullet\hspace{2mm} \bullet\hspace{2mm} \bu... ...} \bullet\hspace{2mm} \bullet\hspace{2mm} \bullet}_{\rm {n+1}} \end{displaymath}$

Als we de eerste of de laatste persoon weglaten, houden we npersonen over:

$\begin{displaymath}\rlap{$\overbrace{\phantom{\strut\bullet\hspace{2mm} \bullet\... ...} \bullet\hspace{2mm} \bullet\hspace{2mm}\bullet}}_{\rm {n}}$} \end{displaymath}$

Wegens de inductieveronderstelling zijn de eerste n personen allemaal even oud. Hetzelfde geldt voor de laatste n personen. De eerste persoon is dus even oud als een van de middelste n-1 personen, die op zijn beurt even oud is als de laatste persoon. De eerste persoon is daarom even oud als de laatste persoon. Conclusie: alle n+1personen hebben dezelfde leeftijd.

Nu het domino-effect is aangetoond en de bewering bewezen is voor een groep van 1 personen, geldt de bewering voor élk aantal personen: iedereen in Nederland is even oud!

We weten natuurlijk allemaal dat dit niet klopt. We hebben het principe van volledige inductie dus verkeerd gebruikt.
Wie er niet uitkomt kan kijken bij de oplossingen.
Anders kun je verder naar de redenering Elke twee getallen zijn gelijk.