door André de Boer"; include("$base/common/header.php3"); ?>

Een stompe hoek van 90 graden

Op school leer je dat een stompe hoek groter is dan $90^\circ$ .Nu gaan we `bewijzen' dat er stompe hoeken bestaan die precies $90^\circ$ zijn.

We gaan uit van Figuur 1. De figuur is zo geconstrueerd dat $\overline{AD}=\overline{BC}$ . Verder is de hoek bij A groter dan $90^\circ$ , de hoek bij B is precies $90^\circ$ . We gaan bewijzen dat $\angle A=\angle B$ .

Een middelloodlijn deelt een lijnstuk in twee gelijke delen en staat loodrecht op het lijnstuk. De lijnstukken AB en CD zijn niet evenwijdig en de middelloodlijnen p van AB en q van CD dus ook niet. De middelloodlijnen snijden elkaar dus, zoals getekend in figuur 2, in een punt S.

Elk punt op de middelloodlijn van AB heeft dezelfde afstand tot A als tot B. Daarom volgt:

1. S ligt op p, zodat: $\overline{AS} = \overline{BS}$ ,
2. S ligt op q, zodat: $\overline{DS} = \overline{CS}$ .

Omdat ook nog geldt $\overline{AD}=\overline{BC}$ zijn de driehoeken $\triangle ASD$ en $\triangle BSC$ congruent en hebben ze precies dezelfde afmetingen. Dan volgt: $\angle SAD=\angle SBC$ . Omdat S op de middelloodlijn p ligt geldt $\overline{AS}=\overline{SB}$ , zodat $\triangle ABS$ gelijkbenig is. Daarom geldt: $\angle SAB=\angle SBA$ . Trekken we deze gelijke hoeken van elkaar af, dan krijgen we:

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} \angle A &=\angle SAD-\angle SAB\ &=\angle SBC-\angle SBA=\angle B.\end{eqalign}\end{displaymath}$

Conclusie: Een stompe hoek van $90^\circ$ . Zie jij waar de fout in het bewijs zit?
Wie er niet uitkomt kan kijken bij de oplossingen.
Anders kun je verder naar de redenering 9=10.